Université Paris Sud-Orsay Année 2000/2001 DEA d’Équations aux Dérivées Partielles

Propriétés spectrales d’opérateurs elliptiques sur des variétés compactes.

Jonathan Le Roux

Mémoire de DEA sous la direction de Patrick Gérard

Juillet 2001

Table des matières

1 Résultats et schéma de la preuve 4 1.1 Données du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Équivalence des deux théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Schéma de la preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Optimalité des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Résultat dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Théorie spectrale et géométrie riemannienne 11 2.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Réduction de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Points critiques d’une fonctionnelle d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Équations locales d’une géodésique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.3 Application exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Coordonnées géodésiques normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.1 Conservation du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.2 Coordonnées géodésiques avec paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 La paramétrix d’Hadamard 17 3.1 Premiers résultats sur F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Mise en oeuvre de la paramétrix en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Paramétrix avec paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Coeur de la preuve 21 4.1 Lemme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Décomposition dyadique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3 Le cas ν = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4 Le cas ν ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.5 Le lemme de Carleson-Sjölin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5.1 Opérateurs d’intégrale oscillante non-dégénérée . . . . . . . . . . . . . . 25 4.5.2 Lemme de Carleson-Sjölin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.5.3 Adaptation à notre cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.6 Adaptations à apporter pour dim M = 2 et (4.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.6.1 dim M = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.6.2 Démonstration de (4.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.7 Démonstration de (4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Introduction

Nous nous intéressons dans ce mémoire aux résultats présentés par C. D. Sogge dans [So1]. Il s’agit d’observer le comportement des normes d’opérateurs de projection spectrale liés à un opérateur elliptique du second ordre P sur une variété riemannienne compacte. Ce problème avait déjà été étudié par Sogge dans le cas de la sphère, et des résultats optimaux avaient été obtenus. Les résultats présentés ici en sont une extension.

La preuve repose sur des inégalités de type Sobolev pour P + k^{2} avec k grand, et les outils principaux pour les démontrer sont la paramétrix d’Hadamard et des théorèmes d’intégrales oscillantes. Nous commencerons par exposer les résultats auxquels nous voulons aboutir et le schéma de la preuve, nous introduirons ensuite des notions classiques de géométrie riemannienne (intégration sur une variété riemannienne, application exponentielle, géodésiques, coordonnées normales, etc...) , puis nous développerons l’outil de la paramétrix d’Hadamard, que nous utiliserons enfin à l’aide d’un lemme d’intégrales oscillantes.

Chapitre 1

Résultats et schéma de la preuve

1.1 Données du problème

Soit M une variété riemannienne compacte, connexe, sans bord, de dimension ≥ 2, et P un opérateur elliptique du second ordre sur M à coefficients C^{∞}, que l’on suppose autoadjoint, et on note λ_{j}, j = 0, 1, … les valeurs propres de P ordonnées de sorte que la suite (λ_{j})_{j∈ℕ} soit monotone. Nous verrons au 2.2 qu’alors l’espace L^{2}(M) se décompose en la somme directe des espaces propres H_{j} de P. On note χ_{k}, k = 1, 2, … les projections orthogonales associées aux sous-espaces de L^{2} ∑_{j∈Λ_{k}} H_{j}, avec Λ_{k} = \{j/\sqrt{|λ_{j}|} ∈ [k − 1, k[\}. On a donc, si f = ∑ ϕ_{j}, où ϕ_{j} ∈ H_{j},

χ_{k}f = ∑_{j∈Λ_{k}} ϕ_{j}.

Dans la suite, on notera C une constante n’étant pas nécessairement la même à chaque occurrence. On notera p_{n} = 2(n + 1)/(n + 3) l’exposant critique, et q = p′_{n} = 2(n + 1)/(n − 1).

1.2 Résultats principaux

Théorème 1.2.1. Avec les notations introduites ci-dessus,

(i) Si f ∈ L^{p}(M), 1 ≤ p ≤ p_{n},

||χ_{k}f||_{L^{p′}(M)} ≤ Ck^{n(1/p−1/p′)−1}||f||_{L^{p}(M)},  (1.1)

(ii) Si f ∈ L^{p}(M), p_{n} ≤ p ≤ 2,

||χ_{k}f||_{L^{p′}(M)} ≤ Ck^{(n−1)(1/p−1/2)}||f||_{L^{p}(M)},  (1.2)

où la constante C ne dépend ici que de M et P. De plus, les inégalités (1.1) sont optimales.

Par la suite, on notera σ(p, n) = \begin{cases}n(1/p − 1/p′) − 1 si 1 ≤ p ≤ p_{n} \\ (n − 1)(1/p − 1/2) si p_{n} ≤ p ≤ 2 \end{cases} .

Théorème 1.2.2. Avec les notations introduites ci-dessus,

(i) Si f ∈ L^{p}(M), 1 ≤ p ≤ p_{n},

||χ_{k}f||_{L^{2}(M)} ≤ Ck^{σ(p,n)/2}||f||_{L^{p}(M)},  (1.3)

(ii) Si f ∈ L^{p}(M), p_{n} ≤ p ≤ 2,

||χ_{k}f||_{L^{2}(M)} ≤ Ck^{σ(p,n)/2}||f||_{L^{p}(M)}.  (1.4)

Là aussi la constante C ne dépend que de M et P, et les inégalités (1.3) sont optimales.

1.3 Équivalence des deux théorèmes

Remarquons tout d’abord que, pour f ∈ L^{2}(M) et k ∈ ℕ^{∗}, on a χ_{k}f ∈ C^{∞} par régularité elliptique. En particulier, pour f ∈ C^{∞}, χ_{k}f est dans tous les L^{p}. Soit p ∈ [1, 2], k ∈ ℕ^{∗} et σ = σ(p, n).

Supposons le théorème 1.2.2 vrai. On définit χ_{k} sur C^{∞}, puis on étend par continuité à tout L^{p}. χ_{k} : L^{p} → L^{2}, donc par dualité χ_{k}^{∗} : L^{2} → L^{p′}, avec la même inégalité sur les normes. Les χ_{k} étant des projecteurs orthogonaux, on a

∀f, g ∈ C^{∞}, < χ_{k}(f), g >_{L^{2}}=< f, χ_{k}(g) >_{L^{p},L^{p′}} ,

et on conclut par continuité que la norme de χ_{k} : L^{2} → L^{p′} vérifie la même majoration que celle de χ_{k} : L^{p} → L^{2}.

D’où :

||χ_{k}f||_{p′} ≤ Ck^{σ(p,n)/2}||f||_{2} ≤ (Ck^{σ(p,n)/2})^{2}||f||_{p},

ce qui montre que le théorème 1.2.2 implique le théorème 1.2.1.

Réciproquement, supposons le théorème 1.2.1 vrai. χ_{k} étant un projecteur orthogonal, on a

||χ_{k}f||_{2}^{2} =< χ_{k}f, χ_{k}f >_{L^{2}}=< f, χ_{k}(f) >_{L^{p},L^{p′}} ,

d’où

||χ_{k}f||_{2}^{2} ≤ ||χ_{k}f||_{p′}||f||_{p},

ce qui implique le théorème 1.2.2.

1.4 Schéma de la preuve

Commençons par montrer que le théorème 1.2.2 est une conséquence de la proposition suivante : Proposition 1.4.1. Si f ∈ L^{2}(M),

||χ_{k}f||_{L^{2(n+1)/(n−1)}(M)} ≤ Ck^{(n−1)/2(n+1)}||f||_{L^{2}(M)},  (1.5)
||χ_{k}f||_{L^{∞}(M)} ≤ Ck^{(n−1)/2}||f||_{L^{2}(M)}.  (1.6)

On remarque tout d’abord que 2(n + 1)/(n − 1) = p′_{n} et (n − 1)/2(n + 1) = σ(p_{n}, n)/2, donc (1.5) s’écrit ||χ_{k}f||_{L^{p′_{n}}(M)} ≤ Ck^{σ(p_{n},n)/2}||f||_{L^{2}(M)}, et par dualité

||χ_{k}f||_{L^{2}} ≤ Ck^{σ(p_{n},n)/2}||f||_{L^{pn}} .

De plus, les χ_{k} étant associés à une base hilbertienne de L^{2}(M), on a ||χ_{k}f||_{L^{2}} ≤ ||f||_{L^{2}}. Pour p ∈ [1, 2], notons N_{p} la norme de χ_{k} : L^{p} → L^{2}.

Soit p ∈ [p_{n}, 2]. On utilise le théorème d’interpolation de Riesz-Thorin :

Théorème 1.4.2. Soit T un opérateur linéaire que l’on suppose continu L^{p_{i}} → L^{q_{i}} de norme k_{i}, i = 0, 1. Alors pour tout θ ∈ [0, 1], si l’on pose \frac{1}{p_{θ}} = \frac{1−θ}{p_{0}} + \frac{θ}{p_{1}} et \frac{1}{q_{θ}} = \frac{1−θ}{q_{0}} + \frac{θ}{q_{1}} , T est continu L^{p_{θ}} → L^{q_{θ}} et sa norme k_{θ} vérifie k_{θ} ≤ k_{0}^{1−θ}k_{1}^{θ}.

Soit θ tel que \frac{1−θ}{2} + \frac{θ}{p_{n}} = \frac{1}{p}, alors

N_{p} ≤ N_{2}^{1−θ}N_{p_{n}}^{θ} ≤ Ck^{θ \frac{n−1}{2(n+1)}} .

Or θ = \frac{1/p−1/2}{1/p_{n}−1/2}, et on vérifie qu’on a bien θ \frac{n−1}{2(n+1)} = σ(p, n)/2, ce qui implique les inégalités (1.4).

On vérifierait de même que le théorème 1.4.2 appliqué entre L^{1} → L^{2} et L^{p_{n}} → L^{2} donne les inégalités (1.3).

Montrons enfin que les inégalités (1.5) et (1.6) sont conséquences des inégalités différentielles suivantes : Lemme 1.4.3. On pose σ = σ(p_{n}, n)/2, σ′ = σ(∞, n)/2. ∃C, ∀u ∈ C^{∞}(M), ∀k ∈ ℕ^{∗},

||u||_{L^{p′_{n}}} ≤ Ck^{σ−1}||(P ± (k + i)^{2})u||_{L^{2}} + Ck^{σ}||u||_{L^{2}}.  (1.7)

||χ_{k}u||_{L^{∞}} ≤ Ck^{σ′−1}||(P ± (k + i)^{2})u||_{L^{2}} + Ck^{σ′}||u||_{L^{2}}.  (1.8)

On peut tout d’abord supposer que le symbole principal de P est défini positif, quitte à remplacer P par −P, car dim M ≥ 2 donc T^{∗}M privé de la section nulle est connexe et le symbole principal de P ne s’annule pas sur cet ensemble. P est alors semi-borné inférieurement, ce que l’on voit en appliquant le lemme suivant avec C = 0, N = 0 et m = 1 : Lemme 1.4.4. Soit S un opérateur pseudo-différentiel classique sur une variété compacte M. On suppose S elliptique d’ordre 2m, de symbole principal s réel positif. Alors,

∃C ≥ 0, ∀N, ∃C_{N}, ∀u ∈ C^{∞}(M), Re(< Su, u >) ≥ C||u||_{H^{m}}^{2} − C_{N}||u||_{H^{−N}}^{2} .

Démonstration : Montrons que, pour tout n, il existe Q_{n} d’ordre m et R_{n} d’ordre m−n−1 tels que S = Q_{n}^{∗}Q_{n} + R_{n}. Soit ψ ∈ C_{0}^{∞} réelle valant 1 sur un voisinage de 0. Pour n = 0, on prend Q_{0} de symbole (1 − ψ)\sqrt{s}. On suppose avoir trouvé Q d’ordre m tel que S − Q^{∗}Q = R est d’ordre t ≤ 2m − 1 : si A est un opérateur d’ordre k < m, S − (Q + A)^{∗}(Q + A) = S − Q^{∗}Q − Q^{∗}A − AQ^{∗} − A^{∗}A = R − (Q^{∗}A + A^{∗}Q + A^{∗}A). On remarque que le symbole principal de Q vérifie |σ(Q)|^{2} = s donc ne s’annule pas en dehors de 0. On prend A de symbole (1 − ψ)σ(R)/(2σ(Q)). S − (Q + A)^{∗}(Q + A) est alors un opérateur d’ordre inférieur à t − 1, et on conclut par récurrence.

Soit N ∈ ℕ.

∀n, ∀u ∈ C^{∞}(M), < Su, u >= ||Q_{n}u||_{L^{2}}^{2}+ < R_{n}u, u > .  (1.9)

On choisit n tel que R_{n} soit d’ordre −2N. R_{n} est continu de H^{−N} dans H^{N}, donc

| < R_{n}u, u >_{H^{N}}^{H^{−N}} | ≤ C_{N}||u||_{H^{−N}}^{2} .

D’autre part, on montre par récurrence comme précédemment que pour un opérateur Q elliptique d’ordre s et pour tout k > 0, il existe un opérateur pseudo-différentiel E_{k} d’ordre −s tel que E_{k}Q = Id + T_{−k}, avec T_{−k} pseudo-différentiel d’ordre −k. On en déduit que, si u ∈ H^{m},

||u||_{H^{m}}^{2} ≤ C||E_{m+N}Q_{n}u||_{H^{m}}^{2} + C||T_{−(m+N)}u||_{H^{m}}^{2},

donc

||u||_{H^{m}}^{2} ≤ C||Q_{n}u||_{L^{2}}^{2} + C_{N}||u||_{H^{−N}}^{2} .

D’où

||Q_{n}u||_{L^{2}}^{2} ≥ C||u||_{H^{m}}^{2} − C_{N}||u||_{H^{−N}}^{2} ,

et on conclut grâce à (1.9) que

Re(< Su, u >) ≥ C||u||_{H^{m}}^{2} − C_{N}||u||_{H^{−N}}^{2} .
□

Notons aussi que les inégalités obtenues ne nous intéressent que pour des k grands. En effet, soit M ∈ ℕ, soit k ≤ M. χ_{k} est à valeurs dans un espace de dimension finie, donc sur lequel toutes les normes sont équivalentes. D’où ||χ_{k}f||_{∞} ≤ C||χ_{k}f||_{2} ≤ C||f||_{2}. On conclut par interpolation que de telles inégalités sont vraies pour tout q ∈ [2, ∞]. On obtient alors les inégalités du théorème 1.2.2 pour k borné par dualité.

Soit u = ∑_{j} λ_{j}Φ_{j} ∈ C^{∞}(M). On a alors (P − (k + i)^{2})χ_{k}u = ∑_{j∈Λ_{k}}(λ_{j} − (k + i)^{2})Φ_{j}, d’où

||(P − (k + i)^{2})χ_{k}u||_{L^{2}}^{2} = ∑_{j∈Λ_{k}} |λ_{j} − (k + i)^{2}|^{2}||Φ_{j}||_{L^{2}}^{2}.

Or, pour k suffisamment grand, j ∈ Λ_{k} ⇒ λ_{j} ∈ [(k − 1)^{2}, k^{2}), car P est semi-borné inférieurement ; donc |λ_{j} − (k + i)^{2}|^{2} = (k^{2} + 1 − λ_{j})^{2} + (2k)^{2} ≤ (k^{2} − (k − 1)^{2} + 1)^{2} + 4k^{2} ≤ 8k^{2}. Ainsi, pour k suffisamment grand,

||(P − (k + i)^{2})χ_{k}u||_{L^{2}(M)} ≤ 4k||χ_{k}u||_{L^{2}(M)},

ce qui nous permet avec le lemme 1.4.3 d’obtenir les inégalités (1.5).

1.5 Optimalité des résultats

Rappelons que, sur une variété compacte M, on a encore, par partition de l’unité, les injections de Sobolev : si s < n/2, on pose 1/p = 1/2 − s/n. Alors l’injection H^{s} ↪ L^{p} est continue. Soit S un opérateur pseudo-différentiel classique autoadjoint d’ordre 2 sur M, et soit f ∈ S^{k}(ℝ). On admet qu’alors f(S) est un opérateur pseudo-différentiel d’ordre 2k, et σ_{2k}(f(S)) = f(σ_{2}(S)), et que, si l’on suppose S positif et 1 + S inversible, alors (1 + S)^{−r} : H^{s}(M) → H^{s+2r}(M) est continu. (1 + S)^{s/2} est un isomorphisme (continu) de H^{s} sur L^{2}, donc les normes || · ||_{H^{s}} et ||(1 + S)^{s/2} · ||_{L^{2}} sont équivalentes. Les injections de Sobolev sont ainsi équivalentes aux inégalités

||u||_{L^{p}} ≤ C||(1 + S)^{s/2}u||_{L^{2}}.

Or, la fonction 2^{−ms}(1 + λ)^{s/2} ∑_{2^{m}≤k<2^{m+1}} 1_{[k,k+1[}(\sqrt{λ}) est bornée uniformément en m, donc le calcul fonctionnel nous dit que l’opérateur 2^{−ms}(1 + S)^{s/2} ∑_{2^{m}≤k<2^{m+1}} χ_{k} est borné sur L^{2} uniformément en m, où l’on définit les χ_{k} comme au 1.1.

Dans la suite, on notera χ_{[a,b[} l’opérateur f(S) où f(λ) = 1_{[a,b[}(\sqrt{λ}). On a en particulier χ_{[2^{m},2^{m+1}[} = ∑_{2^{m}≤k<2^{m+1}} χ_{k}.

Il existe donc C dépendant uniquement de S et de M tel que :

∀m, ||χ_{[2^{m},2^{m+1}[}f||_{L^{p}} ≤ C2^{ms}||f||_{L^{2}} = C2^{mn( \frac{1}{2} − \frac{1}{p})}||f||_{L^{2}}.  (1.10)

Montrons que le facteur 2^{mn( \frac{1}{p} − \frac{1}{2} )} est optimal : Proposition 1.5.1. On suppose qu’il existe α et C tel que,

∀m, ||χ_{[2^{m},2^{m+1}[}||_{L^{2}→L^{p}} ≤ C2^{mα}.

Alors

α ≥ n(\frac{1}{2} − \frac{1}{p}).

Démonstration :

On admet le lemme suivant, qui est une version spectrale de la théorie de Littlewood-Paley : Lemme 1.5.2. Soit χ̃ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ\\{0\}) tel que 1 − ∑_{m=0}^{∞} χ̃(2^{−m}\sqrt{λ}) soit à support compact. Si p ≥ 2, il existe C tel que :

||u||_{L^{p}} ≤ C (∑_{m=0}^{+∞} ||χ̃ (\frac{\sqrt{S}}{2^{m}} ) u||_{L^{p}}^{2})^{1/2} + C||u||_{L^{2}}.  (1.11)

χ̃ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ\{0}), donc on peut supposer que supp(χ̃) ⊂ [2^{−a}, 2^{a}[, avec a ∈ ℕ^{∗}. On déduit de l’hypothèse de la proposition en faisant une somme finie d’inégalités que

∀m, ||χ_{[2^{m−a},2^{m+a}[}||_{L^{2}→L^{p}} ≤ C2^{mα}.

Or χ_{[2^{m−a},2^{m+a}[}χ̃(\sqrt{S}/2^{m}) = χ̃(\sqrt{S}/2^{m}), d’où ||χ̃(\sqrt{S}/2^{m})u||_{L^{p}} ≤ C2^{mα}||χ̃(\sqrt{S}/2^{m})u||_{L^{2}}. On en déduit que

||u||_{L^{p}} ≤ C (∑_{m=0}^{+∞} 2^{2mα} ||χ̃ (\frac{\sqrt{S}}{2^{m}} ) u||_{L^{2}}^{2})^{1/2} + C||u||_{L^{2}}.

La fonction g = 2^{mα}(1+λ)^{−α/2}χ̃(\sqrt{λ}/2^{m}) étant bornée uniformément en m, il existe C tel que :

∀m, ||2^{mα}χ̃(\sqrt{S}/2^{m})u||_{L^{2}} ≤ C||(1 + S)^{α/2}χ_{[2^{m−a},2^{m+a}[}u||_{L^{2}},

comme on le voit en appliquant l’opérateur g(S) à la fonction (1 + S)^{α/2}χ_{[2^{m−a},2^{m+a}[}u et en remarquant que les χ_{[a,b[} et S commutent. On en déduit :

||u||_{L^{p}} ≤ C (∑_{m=0}^{+∞} ||χ_{[2^{m−a},2^{m+a}[}(1 + S)^{α/2}u||_{L^{2}}^{2})^{1/2} + C||u||_{L^{2}}
≤ C\sqrt{2a}||(1 + S)^{α/2}u||_{L^{2}} + C||u||_{L^{2}}
≤ C||u||_{H^{α}}.

On conclut grâce au lemme suivant :

Lemme 1.5.3. Si pour tout u ∈ C^{∞}(M),

||u||_{L^{p}(M)} ≤ C||u||_{H^{α}(M)},

alors

α ≥ n (\frac{1}{2} − \frac{1}{p}) .

Démonstration : Soient x_{0} ∈ M, et ψ ∈ C_{0}^{∞}. On pose

u^{ϵ}(x) = ψ (\frac{x − x_{0}}{ϵ} ) .

On va travailler localement, on peut ainsi tout calculer en coordonnées. On va donc supposer qu’on est dans ℝ^{n}. En passant en Fourier, on obtient :

||u^{ϵ}||_{H^{α}}^{2} = ∫ |ψ̂(ϵξ)|^{2}ϵ^{2n}(1 + |ξ|^{2})^{α} dξ = \frac{ϵ^{n}}{ϵ^{2α}} ∫ |ψ̂(η)|^{2}ϵ^{2α} (1 + \frac{|η|^{2}}{ϵ^{2}} )^{α} dη.

ψ̂ ∈ S, donc, par convergence dominée quand ϵ → 0, on obtient :

||u^{ϵ}||_{H^{α}}^{2} ∼ ϵ^{n−2α} ∫ |ψ̂(η)|^{2}|η|^{2α} dη.

Ainsi, ||u^{ϵ}||_{H^{α}} ∼ Cϵ^{\frac{n}{2} −α}. Or, ||u^{ϵ}||_{L^{p}} ∼ Cϵ^{\frac{n}{p}} , donc on doit avoir

ϵ^{\frac{n}{p}} ≤ Cϵ^{\frac{n}{2} −α}, ϵ → 0.

Cela implique l’inégalité désirée,

\frac{n}{2} − α ≤ \frac{n}{p}.

□

On a ainsi démontré l’optimalité du coefficient intervenant dans (1.10). □ Montrons que ces résultats impliquent l’optimalité des inégalités (1.1) et (1.3) : on déduit

de (1.10) par dualité que, pour tout p ∈ [1, 2], il existe C tel que

∀m, ||χ_{[2^{m},2^{m+1}[}f||_{L^{2}} ≤ C2^{mn( \frac{1}{p} − \frac{1}{2} )}||f||_{L^{p}},

et de la proposition 1.5.1 que ce résultat est optimal.

En utilisant (1.3), on a, pour 1 ≤ p ≤ p_{n},

\begin{aligned}||χ_{[2^{m},2^{m+1}[}f||_{2}^{2} & ≤ & ∑_{2^{m}≤k<q2^{m+1}} ||χ_{k}f||_{2}^{2} ≤ C ∑_{2^{m}≤k<2^{m+1}} k^{σ(p,n)}||f||_{p}^{2} \\ & ≤ & C2^{2mn(1/p−1/2)}||f||_{p}^{2}. \end{aligned}

On voit ainsi qu’une amélioration dans l’exposant de (1.3) entrainerait une amélioration dans l’exposant de (1.10), ce qui est impossible. (1.3) est donc optimale, et (1.1) aussi par équivalence de ces deux résultats.

1.6 Résultat dual

On pose q_{n} = \frac{2(n+1)}{n−1}, et σ′(q, n) = \begin{cases}n[1/q′ − 1/q] − 1 si q_{n} ≤ q ≤ ∞ \\ (n − 1)(1/2 − 1/q) si 2 ≤ q ≤ q_{n} \end{cases} .

En utilisant la dualité comme on l’a fait au 1.3, on obtient les inégalités suivantes, analogues de celles du théorème 1.2.2 : Théorème 1.6.1. Avec les notations introduites au théorème 1.2.1,

(i) Si f ∈ L^{2}(M), q_{n} ≤ q ≤ ∞,

||χ_{k}f||_{L^{q}(M)} ≤ Ck^{σ′(q,n)/2}||f||_{L^{2}(M)}.  (1.12)

(ii) Si f ∈ L^{2}(M), 2 ≤ q ≤ q_{n},

||χ_{k}f||_{L^{q}(M)} ≤ Ck^{σ′(q,n)/2}||f||_{L^{2}(M)},  (1.13)

Là aussi la constante C ne dépend que de M et P, et les inégalités (1.12) sont optimales.

Ce dernier théorème permet d’analyser le comportement asymptotique de la norme L^{q} de fonctions propres de P à norme L^{2} fixée.

Remarquons enfin que, dans le cas de la sphère et de l’opérateur de Laplace-Beltrami, les résultats d’optimalité obtenus pour les χ_{k} permettent d’obtenir des estimations optimales sur les fonctions propres. Les valeurs propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami sur la sphère S^{n} sont les −j(j + n − 1), j = 0, 1, …. On note H_{j} l’opérateur de projection sur l’espace propre associé. On déduit des résultats précédents que

||H_{j}f||_{L^{q}} ≤ Cj^{σ′(q,n)/2}||f||_{L^{2}}.

De plus, il n’existe aucun σ_{0} < σ′(q, n)/2 tel que ∃C, ∀j, ||H_{j}f||_{L^{q}} ≤ Cj^{σ_{0}}||f||_{L^{2}}. En effet, on remarque que, pour tout k, χ_{k} est une somme finie de H_{j}, le nombre de termes étant borné indépendamment de k et les indices j mis en jeu étant de l’ordre de k. On aurait alors

∀k, ||χ_{k}f||_{L^{q}} ≤ Ck^{σ_{0}}||f||_{L^{2}},

ce qui est absurde par optimalité de (1.12).

Théorie spectrale et géométrie riemannienne

Nous allons commencer par présenter la notion de variété riemannienne et d’intégration sur une telle variété, puis nous justifierons la réduction de P introduite au 1.1, et enfin nous développerons quelques notions de géométrie riemannienne que nous utiliserons lors de la construction de la paramétrix d’Hadamard.

2.1 Variétés riemanniennes

Pour une variété C^{∞} M, on notera T_{m}M l’espace tangent à M en un point m, T M le fibré tangent, T_{m}^{∗}M l’espace cotangent en m, T^{∗}M le fibré cotangent, ⊗^{2}T_{m}^{∗}M l’ensemble des éléments homogènes de degré 2 de l’algèbre tensorielle construite sur T_{m}^{∗}M, et⊗^{2}T^{∗}M le fibré correspondant. On appelle section d’un fibré π : E → M toute application C^{∞} s : M → E telle que π ∘ s = Id. On notera Γ(T M) et Γ(T^{∗}M) les espaces de sections des fibrés T M et T^{∗}M. Définition 2.1.1. Une variété riemannienne est un couple (M, g) constitué d’une variété M et d’une section g de ⊗^{2}T^{∗}M telle qu’en tout point m ∈ M le tenseur g(m) soit symétrique défini positif. En d’autres termes, une variété riemannienne est une variété M munie d’un produit scalaire C^{∞}.

Soient (\frac{∂}{∂x^{i}})_{(1≤i≤n)} les champs de vecteurs de coordonnées dans une carte locale autour de m. Soient u, v ∈ T_{m}M avec u = ∑_{i=1}^{n} u^{i} \frac{∂}{∂x^{i}} _{|m} et v = ∑_{i=1}^{n} v^{i} \frac{∂}{∂x^{i}} _{|m}. Alors

g_{m}(u, v) = ∑_{i,j} g_{ij}(m)u^{i}v^{j},

où

g_{ij}(m) = g (\frac{∂}{∂x^{i}}_{|m}, \frac{∂}{∂x^{j}} _{|m}) .

Nous allons maintenant introduire une mesure canonique. Définition 2.1.2. Soit (M, g) une variété riemannienne. Soit (U, ϕ) une carte de M. Pour m ∈ U, on désigne par ξ^{1}, …, ξ^{n} les coordonnées locales de m induites par (U, ϕ) : ϕ(m) = (ξ^{1}, …, ξ^{n}). Soit g_{U,ϕ} la matrice de g relative à (U, ϕ), et soit |g_{U,ϕ}| > 0 son déterminant. Sur ϕ(U), on a la mesure positive μ_{U,ϕ} = |g_{U,ϕ}|^{1/2}dξ^{1} ⋯ dξ^{n}. On définit alors sur U la mesure ν_{U,ϕ} = ϕ^{−1}(μ_{U,ϕ}). On vérifie grâce à la formule de changement de cartes que la mesure définie localement est indépendante de la carte. On définit enfin par un argument de partition de l’unité une mesure positive v_{g} sur M telle que v_{g}|_{U} = ν_{U,ϕ} pour toute carte (U, ϕ). Une telle mesure est de plus unique. On l’appelle la mesure canonique de (M, g).

Nous allons définir l’espace L^{2}(M). Définition 2.1.3. Soit (M, g) une variété riemannienne compacte et v_{g} sa mesure canonique. Soient f, h deux fonctions C^{∞} sur M. On définit leur produit scalaire (f, h) = ∫_{M} f(x)h(x)ν(dx), qui existe car M est compacte. C^{∞}(M) est ainsi muni d’une structure préhilbertienne réelle. On définit l’espace de Hilbert L^{2}(M) comme le complété de C^{∞}(M) pour le produit scalaire introduit.

On peut aussi définir sur une variété compacte les espaces de Sobolev, en passant par le tore : on peut en effet utiliser sur celui-ci une transformée de Fourier, et se ramener à une définition classique en Fourier des H^{s}(T). Certains résultats sur les espaces de Sobolev sur un ouvert de ℝ^{n} restent valables dans le cas d’une variété compacte. On a en particulier le théorème de Rellich (admis), qui nous dit que l’inclusion H^{s}(M) ↪ L^{2}(M) est compacte pour s > 0.

2.2 Réduction de P

Soient M et P comme au 1.1. On suppose en plus que le symbole principal de P est défini positif. On a vu au lemme 1.4.4 qu’alors P est semi-borné inférieurement. Quitte à ajouter une constante, on supposera dans la suite que P est positif. On montre en utilisant le lemme de Lax-Milgram que (P + I) est inversible, d’inverse (P + I)^{−1} : L^{2}(M) → H^{2}(M). Or, puisque M est une variété compacte, l’injection H^{2}(M) → L^{2}(M) est compacte. Par conséquent, (P + I)^{−1} : L^{2}(M) → L^{2}(M) est un opérateur compact. On note aussi qu’il est injectif par construction. L^{2}(M) est un Hilbert, (P +I)^{−1} est compact et autoadjoint, donc on peut appliquer le théorème spectral, qui nous donne une suite de valeurs propres distinctes μ_{j}, j = 0, 1, … tendant vers 0 et de multiplicité finie, avec μ_{j} > 0, et une base orthonormée de vecteurs propres associée à (μ_{j}) diagonalisant L^{2}(M). Si ϕ_{j,k} est un vecteur propre associé à μ_{j} pour (P + I)^{−1},

(P + I)^{−1}ϕ_{j,k} = μ_{j}ϕ_{j,k},

alors ϕ_{j,k} ∈ D(P + I) domaine de l’opérateur. De plus, on a

P ϕ_{j,k} = (\frac{1}{μ_{j}} − 1) ϕ_{j,k}.

ϕ_{j,k} est donc vecteur propre de P associé à la valeur propre λ_{j} = (\frac{1}{μ_{j}} − 1), et on remarque que, par régularité elliptique, ϕ_{j,k} ∈ C^{∞}(M).

Montrons que la base des ϕ_{j,k} diagonalise P : soit u = ∑_{j,k} u_{j,k}ϕ_{j,k} dans le domaine de P; P étant autoadjoint, on obtient

< P u, ϕ_{j,k} >_{L^{2}}=< u, P ϕ_{j,k} >_{L^{2}}= λ_{j}u_{j,k}.

Le domaine de P est alors

D(P) = {u ∈ L^{2}/ ∑_{j,k} λ_{j}^{2}|u_{j,k}|^{2} < +∞},

et pour u = ∑_{j,k} u_{j,k}ϕ_{j,k} ∈ D(P) on a P u = ∑_{j,k} λ_{j}u_{j,k}ϕ_{j,k}.

On remarque aussi que la suite des valeurs propres (λ_{j}) tend vers +∞. Enfin, si on note H_{j} l’espace propre de P associé à la valeur propre λ_{j}, on obtient :

L^{2}(M) = ⊕_{j}H_{j}.

2.3 Géodésiques

2.3.1 Points critiques d’une fonctionnelle d’énergie

Si γ : [a, b] → M est une courbe C^{∞} par morceaux, on définit son énergie E par :

E(γ) = \frac{1}{2} ∫_{a}^{b} ||\frac{dγ}{dt} ||^{2} dt.

On définit aussi une variation à extrémités fixes de γ comme une fonction α : (−ϵ, ϵ)×[a, b] → M pour un certain ϵ > 0, telle que

• α(0, t) = γ(t),

• il existe une partition a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{N} = b de [a, b] telle que α est C^{∞} sur chaque bande (−ϵ, ϵ) × [t_{i−1}, t_{i}],

• α(u, a) = γ(a), α(u, b) = γ(b), ∀u ∈ (−ϵ, ϵ). Pour une variation α, on notera \overline{α}(u) le chemin t ⟼ α(u, t).

On suppose que sur chaque intervalle où α est C^{∞} on se place dans une carte (x, U). On note alors γ^{i}(t) = x^{i}(γ(t)).

En notant \frac{dγ}{dt} (t_{i}^{+}) (resp. \frac{dγ}{dt} (t_{i}^{−})) le vecteur dérivée à droite (resp. à gauche) de γ en t_{i}, et en introduisant les symboles [jk, i] = \frac{1}{2} (\frac{∂g_{ki}}{∂x_{j}} + \frac{∂g_{ij}}{∂x_{k}} − \frac{∂g_{jk}}{∂x_{i}} ) , on obtient après calcul la formule de la variation première : Théorème 2.3.1.

\begin{aligned}\frac{dE(\overline{α}(u))}{du} |u=0 & = & − ∫_{a}^{b} ∑_{l=1}^{n} \frac{∂α^{l}}{∂u} (0, t) \{∑_{r=1}^{n} g_{lr}(γ(t))\frac{d^{2}γ^{r}}{dt^{2}} + ∑_{j,k=1}^{n}[jk, l](γ(t))\frac{dγ^{j}}{dt} \frac{dγ^{k}}{dt} \} dt \\ & & − ∑_{i=0}^{N} < \frac{∂α}{∂u}(0, t_{i}), \frac{dγ}{dt} (t_{i}^{+}) − \frac{dγ}{dt} (t_{i}^{−}) > . \end{aligned}

On aboutit ainsi à des conditions sur les points critiques de E : Corollaire 2.3.2. Si γ : [a, b] → M est une courbe C^{∞} par morceaux, alors γ est un point critique de E si et seulement si pour tout système de coordonnées (x, U), on a

∑_{r=1}^{n} g_{lr}(γ(t))\frac{d^{2}γ^{r}}{dt^{2}} + ∑_{j,k=1}^{n}[jk, l](γ(t))\frac{dγ^{j}}{dt} \frac{dγ^{k}}{dt} = 0 pour γ(t) ∈ U.

On introduit les symboles de Christoffel de la métrique, définis par les formules

Γ_{jk}^{i} = ∑_{l=1}^{n} g^{li}[jk, l] = \frac{1}{2} ∑_{l} \{\frac{∂g_{kl}}{∂x_{j}} + \frac{∂g_{lj}}{∂x_{k}} − \frac{∂g_{jk}}{∂x_{l}} \} g^{li}.

On peut alors réécrire les équations des points critiques de E :

\frac{d^{2}γ^{i}}{dt^{2}} + ∑_{j,k=1}^{n} Γ_{jk}^{i}(γ(t))\frac{dγ^{j}}{dt} \frac{dγ^{k}}{dt} = 0, (1 ≤ i ≤ n).  (2.1)

On peut en fait montrer(admis) qu’une courbe C^{∞} par morceaux point critique de E est toujours C^{∞}.

Un calcul en coordonnées nous dit enfin que tout point critique de E est paramétré proportionnellement à la longueur d’arc, c’est à dire que la vitesse le long d’une telle courbe est constante.

Sur une variété riemannienne, on définit la notion de distance riemannienne entre x et y par d(x, y) = inf ∫_{0}^{1} ||γ′|| dt où γ appartient à l’ensemble des chemins tels que γ(0) = x et γ(1) = y. On admet qu’il s’agit bien d’une distance, et que la structure différentielle qu’elle définit coïncide avec celle de la variété. Le calcul des variations nous donne l’existence d’un chemin minimisant, et l’équation obtenue pour ce chemin nous dit que, à une reparamètrisation près, il existe une géodésique réalisant cette distance.

2.3.2 Équations locales d’une géodésique

On définit localement les géodésiques comme les solutions du système d’équations différentielles (2.1).

On remarque que si t ⟼ γ(t) est une géodésique, alors t ⟼ γ(ct) est encore une géodésique, par homogénéité du système (2.1).

Cette propriété va nous permettre d’améliorer les résultats donnés par le théorème de Cauchy-Lipschitz : Théorème 2.3.3. Soit m_{0} ∈ M. Il existe un voisinage U de m_{0} et il existe ϵ > 0 tels que, pour tout m ∈ U et tout v ∈ T_{m}M avec ||v|| < ϵ, il existe une unique géodésique c_{v} :]−1, 1[→ M avec c_{v}(0) = m et \frac{dc_{v}}{dt} (0) = v. De plus, l’application C : T U×] − 1, 1[→ M définie par C(v, t) = c_{v}(t) est C^{∞}.

Démonstration : Le théorème de Cauchy-Lipschitz nous dit qu’il existe un voisinage U de m_{0} et ϵ_{1}, ϵ_{2} > 0 tels que, pour tout m ∈ U et tout v ∈ T_{m}M avec ||v|| < ϵ_{1}, il existe une unique géodésique c_{v} :] − ϵ_{2}, ϵ_{2}[→ M vérifiant les conditions initiales demandées. Soit ϵ < ϵ_{1}ϵ_{2}. Alors, si ||v|| < ϵ et |t| < 1, on a ||v/ϵ_{2}|| < ϵ_{1} et |ϵ_{2}t| < ϵ_{2}. On peut donc définir c_{v}(t) par c_{v/ϵ_{2}}(ϵ_{2}t). □

Nous désignerons dans la suite par c_{v} la géodésique maximale vérifiant les conditions initiales c_{v}(0) = m et \frac{dc_{v}}{dt} (0) = v, pour v ∈ T_{m}M. L’ensemble Ω ⊂ T M des vecteurs v tels que c_{v}(1) est bien défini est un ouvert de T M contenant les vecteurs nuls 0_{m} ∈ T_{m}M de chaque fibre.

2.3.3 Application exponentielle

Définition 2.3.4. L’application exponentielle exp : Ω ⊂ T M → M est définie par

exp(v) = c_{v}(1).

On note exp_{m} sa restriction à un espace tangent T_{m}M.

On peut ainsi écrire pour la géodésique c_{v} : c_{v}(t) = exp_{m}(tv). Proposition 2.3.5. (i) L’application exp : Ω → M est C^{∞}, (ii) pour m_{0} ∈ M, l’application Φ : Ω → M × M définie par

Φ(v) = (π(v), exp_{π(v)}(v))

est un difféomorphisme local d’un voisinage W de 0_{m_{0}} dans T M sur un voisinage de (m_{0}, m_{0}) dans M × M.

Démonstration : La première assertion est une conséquence immédiate du théorème 2.3.3. Pour démontrer la seconde, nous allons utiliser le théorème d’inversion locale. Dans une

carte locale (U, ϕ) autour de m_{0}, l’application Φ : T U ≈ U × ℝ^{n} → M × M est donnée par Φ(v = (x, u)) = (x, exp_{x} u). Calculons la matrice jacobienne de Φ en (m_{0}, 0) : à m_{0} fixé et pour t suffisamment petit, on a Φ(m_{0}, tv) = (m_{0}, c_{v}(t)), donc

T_{0_{m_{0}}} Φ (\frac{∂}{∂u^{i}} ) = (0, \frac{∂}{∂u^{i}} ) .

Si on fixe maintenant u ≡ 0 et si on fait varier x, on obtient Φ(m, 0) = (m, m), donc

T_{0_{m_{0}}} Φ (\frac{∂}{∂x^{i}} ) = (\frac{∂}{∂x^{i}} , \frac{∂}{∂u^{i}} ) .

La matrice jacobienne de Φ est ainsi, dans la base précédente,

( \begin{matrix}Id & 0 \\ Id & Id \end{matrix} ) .

Cette matrice étant inversible, Φ est un difféomorphisme local autour de m_{0}. □

En utilisant une partie de cette démonstation et en appliquant encore le théorème d’inversion locale, cette fois-ci à v ⟼ exp_{m_{0}}(v) de différentielle égale à l’identité, on montre qu’il existe ϵ > 0 tel que l’application exp_{m_{0}} : B(0, ϵ) → M soit un difféomorphisme sur son image, qui contient un voisinage de m_{0}, où l’on note B(0, ϵ) la boule de centre 0 et rayon ϵ dans T_{m_{0}}M.

2.4 Coordonnées géodésiques normales

2.4.1 Conservation du produit scalaire

Soit m_{0} ∈ M. Soit ϵ > 0 tel que exp_{m_{0}} : B(0, ϵ) → M soit un difféomorphisme sur son image. Utilisons cette application comme carte locale autour de m_{0} en choisissant une base orthonormée de T_{m_{0}}M : les coordonnées locales obtenues sont appelées coordonnées géodésiques normales.

On a vu que c_{v}(t) = exp_{m_{0}}(tv), donc, dans les coordonnées normales, les géodésiques partant de m_{0} avec la vitesse v sont de la forme tv, i.e. sont des droites.

Par conservation de la vitesse le long d’une géodésique, on obtient |v|_{g(x)} = |v|_{g(0)}, i.e. ∑ g_{jk}(x)v_{j}v_{k} = ∑ g_{jk}(0)v_{j}v_{k}, ce qui en multipliant par t^{2} nous donne

∑ g_{jk}(x)x_{j}x_{k} = ∑ g_{jk}(0)x_{j}x_{k},  (2.2)

où les x_{i} sont les coordonnées de x.

Lemme 2.4.1. Soit v ∈ B(0, ϵ). On identifie T_{v}(T_{m_{0}}M) à T_{m_{0}}M. Soit w ∈ T_{m_{0}}M. Alors

< (T_{v} exp_{m_{0}})(v), (T_{v} exp_{m_{0}})(w) >_{exp_{m_{0}}(v)}=< v, w >_{m_{0}} .  (2.3)

Démonstration : Si w est colinéaire à v, le résultat n’est autre que (2.2). On se ramène donc par linéarité au cas où w est normal à v. Soit s : ℝ → T_{m_{0}} une courbe C^{∞} telle que ||s(t)|| = cte = c < ϵ, s(0) = v et s′(0) = w. On pose α(u, t) = exp_{m_{0}}(u · s(t)) pour u ∈ (−ϵ/c, ϵ/c). On se place dans une carte locale. Un petit calcul nous mène alors à

\begin{aligned}\frac{∂}{∂u} ⟨\frac{∂α}{∂u}, \frac{∂α}{∂t}⟩ & = & ∑_{j=1}^{n} \frac{∂α^{j}}{∂t} (∑_{k=1}^{n} g_{jk} \frac{∂^{2}α^{k}}{∂u^{2}} + ∑_{k,l=1}^{n}[kl, j]\frac{∂α^{k}}{∂u} \frac{∂α^{l}}{∂u} ) \\ & & + ∑_{k=1}^{n} \frac{∂α^{k}}{∂u} (∑_{j=1}^{n} g_{jk} \frac{∂^{2}α^{j}}{∂t∂u} + ∑_{j,l=1}^{n}[jl, k]\frac{∂α^{j}}{∂u} \frac{∂α^{l}}{∂t} ) . \end{aligned}

Le premier terme du membre de droite est nul car u ⟼ α(u, t) est une géodésique. On note I le second terme du membre de droite. Un calcul similaire nous donne \frac{∂}{∂t} ⟨\frac{∂α}{∂u}, \frac{∂α}{∂u}⟩ = 2I, or \frac{∂α}{∂u}(u, t) est le vecteur tangent au temps u à la géodésique u ⟼ exp_{m_{0}}(u · s(t)), donc sa norme est ||s(t)|| = c. Ainsi I = 0, d’où ⟨\frac{∂α}{∂u}, \frac{∂α}{∂t}⟩ est indépendant de u. Or α(0, t) = m_{0}, donc \frac{∂α}{∂t}(0, t) = 0. On obtient finalement :

⟨\frac{∂α}{∂u}(u, t), \frac{∂α}{∂t}(u, t)⟩ = 0, ∀(u, t).

On en déduit en regardant en (u, t) = (1, 0) que (2.3) est vraie pour w normal à v. □

Or, par définition de la carte, < (T_{v} exp_{m_{0}})(v), (T_{v} exp_{m_{0}})(w) >_{exp_{m_{0}}(v)} a pour expression en coordonnées ∑_{j,k} g_{jk}(exp_{m_{0}}(v))v_{j}w_{k}, et < v, w >_{m_{0}}= ∑_{j,k} g_{jk}(m_{0})v_{j}w_{k}. Ceci étant vrai pour tout w ∈ T_{m_{0}}M, si x est un point de la géodésique issue de m_{0} avec la vitesse v, on obtient, en notant (x_{1}, …, x_{n}) les coordonnées normales de x,

∑_{k} g_{jk}(x)x_{k} = ∑_{k} g_{jk}(0)x_{k}, j = 1, …, n.

2.4.2 Coordonnées géodésiques avec paramètre

D’après la proposition 2.3.5, l’application exp : (y, v) ⟼ (y, exp_{y}(v)) est un difféomorphisme local d’un voisinage V de la section nulle de T M sur un voisinage W de la diagonale dans M × M. On l’utilise comme carte locale à y constant en identifiant, pour U voisinage de y ∈ M suffisamment petit, T U à U × ℝ^{n}. On obtient alors une expression de la métrique riemannienne dans les nouvelles coordonnées (y, x) ∈ V, ∑ g_{jk}(y, x)dx_{j}dx_{k}. On remarque en fait comme au paragraphe précédent que ces coordonnées vérifient

∑_{k} g_{jk}(y, x)x_{k} = ∑_{k} g_{jk}(y, 0)x_{k}, j = 1, …, n.

On définit la distance riemanienne s(x, y) pour (x, y) ∈ W par la relation

s(exp_{y}(x̃), y) = (∑ g_{jk}(y, 0)x̃_{j}x̃_{k})^{\frac{1}{2}} .

Une géodésique étant une droite dans les coodonnées normales, on obtient que s(exp_{y}(x̃), y) = ∫_{0}^{1} ||x̃|| dt = ||x̃||, ce qui est bien l’expression précédente.

La paramétrix d’Hadamard

Nous utiliserons dans la preuve des inégalités du type (1.7) des coordonnées locales, donc nous nous placerons ici dans ℝ^{n}, n ≥ 2. L’opérateur P considéré sera de la forme

P (x, D) = − ∑_{j,k} ∂_{j}g^{jk}∂_{k} + ∑ b_{j}∂_{j} + c,

avec g^{jk}, b_{j}, et c C^{∞} sur un ouvert X de ℝ^{n} contenant l’origine. P étant destiné à être elliptique, on supposera (g^{jk}) réelle définie positive. On notera dans la suite F le potentiel de Bessel (z désignant un élément de ℂ\ℝ) :

F (x) = \frac{1}{(2π)^{n}} ∫_{ℝ^{n}} e^{ix·ξ}(|ξ|^{2} − z)^{−1} dξ.

3.1 Premiers résultats sur F

Proposition 3.1.1. F ∈ C^{∞}(ℝ^{n}\{0}).

Démonstration : 1/(|ξ|^{2}−z) ne s’annule jamais donc (|ξ|^{2}−z) ≥ C > 0 et même (|ξ|^{2}−z) ≥ C|ξ|^{2}. 1/(|ξ|^{2}−z) est une fonction C^{∞} bornée, donc F ∈ S′. Une dérivée d’ordre k de 1/(|ξ|^{2}−z) est de la forme Q(ξ)/(|ξ|^{2} − z)^{k+1}, avec Q de degrée au plus k, d’où

∀ξ ≠ 0, |ξ^{β}D^{α}(1/(|ξ|^{2} − z))| ≤ C_{αβ}|ξ|^{|β|−|α|−2}.  (3.1)

Soit ψ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}) égale à 1 sur un voisinage de 0. On peut écrire g = ξ^{β}D^{α}(1/(|ξ|^{2} − z)) = gψ+g(1−ψ). ĝ est alors continue pour |β|−|α|−2 < −n car gψ est à support compact et g(1−ψ) est alors localement intégrable d’après (3.1). D’où D^{β}x^{α}F est continu pour |β| − |α| − 2 < −n, donc pour tout p, il existe α tel que x^{α}F a toutes ses dérivées d’ordre inférieur à p continues, donc x^{α}F ∈ C^{p}(ℝ^{n}), et F ∈ C^{p}(ℝ^{n}\{0}). Ainsi F ∈ C^{∞}(ℝ^{n}\{0}). □

On remarque de plus que, pour k ∈ [1, n], ∂_{k}F est localement intégrable, comme on le voit en se ramenant à la transformée de Fourier de distributions homogènes.

Il est clair (cf en Fourier) que

(−Δ − z)F = δ_{0}.  (3.2)

Soit T un isomorphisme de ℝ^{n}. Si on fait le changement de variables y = T x, on obtient les formules suivantes pour le Laplacien en coordonnées y :

Δ_{y} = ∑ \frac{∂}{∂x_{j}} g^{jk} \frac{∂}{∂x_{k}} ,

où l’on note (g^{jk}) = T^{−1}(T^{−1})^{t}. En effet, \frac{∂}{∂x_{j}} = ∑_{k} \frac{∂y_{k}}{∂x_{j}} \frac{∂}{∂y_{k}} = ∑_{k} T_{kj} \frac{∂}{∂y_{k}} , donc

∇_{x} = T^{t}∇_{y}.

D’où

< Δ_{y}u, v > = − < ∇_{y}u, ∇_{y}v >
= − < (T^{−1})^{t}∇_{x}u, (T^{−1})^{t}∇_{x}v >
= − < T^{−1}(T^{−1})^{t}∇_{x}u, ∇_{x}v >
= < (∑_{j,k} \frac{∂}{∂x_{j}} g^{jk} \frac{∂}{∂x_{k}})(u), v > .

F étant radiale, on écrira par abus de notation : F (x) = F (|x|). Or |y|^{2} = |T x|^{2} = (T^{t}T x|x) = ∑ g_{jk}x_{j}x_{k}, où l’on note (g_{jk}) l’inverse de (g^{jk}). On a ainsi F (y) = F (|y|) = F (|x|_{g}) en notant |x|_{g}^{2} = ∑ g_{jk}x_{j}x_{k}.

On déduit alors de (3.2) que

(− ∑_{j,k} ∂_{j}g^{jk}∂_{k} − z)F (|x|_{g}) = (det g^{jk})^{\frac{1}{2}} δ_{0},  (3.3)

en remarquant que δ_{0}(T x) = | det T |^{−1}δ_{0}(x) au sens où,

∀f ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}), ∫_{ℝ^{n}} δ_{0}(T x)f(x) dx = | det T |^{−1} ∫_{ℝ^{n}} δ_{0}(x)f(T^{−1}x) dx = | det T |^{−1}f(0),

par la formule de changement de variables.

3.2 Mise en oeuvre de la paramétrix en un point

Le symbole principal de P, ∑ g^{jk}(x)ξ_{j}ξ_{k}, est défini sur le fibré cotangent, et on a supposé (g^{jk}(x)) définie positive, donc P induit une forme quadratique définie positive sur le fibré cotangent. La forme quadratique duale ∑ g_{jk}(x)dx_{j}dx_{k} sur le fibré tangent définit donc une métrique riemannienne.

On introduit maintenant les coordonnées géodésiques normales associées à la métrique induite par P au voisinage d’un point x_{0} de X. On a vu au 2.4.1 qu’elles satisfont à la condition

∑_{k} g_{jk}(x)x_{k} = ∑_{k} g_{jk}(0)x_{k}, j = 1, …, n.  (3.4)

Ce qui implique |x|_{g} = |x|_{g,0} = (∑ g_{jk}(0)x_{j}x_{k})^{\frac{1}{2}} .

Soit f ∈ C^{1}. On a ∂_{k}(f(|x|_{g,0}^{2})) = 2 ∑_{i} g_{ik}(0)x_{i}f′(|x|_{g}^{2}), d’où

∑_{k} g^{jk}(0)∂_{k}(f(|x|_{g}^{2})) = 2(∑_{k} ∑_{i} g^{jk}(0)g_{ik}(0)x_{i})f′(|x|_{g,0}^{2})
= 2x_{j}f′(|x|_{g}^{2})
= ⋯ = ∑_{k} g^{jk}(x)∂_{k}(f(|x|_{g}^{2})).

En choisissant f telle que f(|x|^{2}) = F (x), f ∈ C^{1}(ℝ^{n}\0), on voit que (3.3) avec (g) dépendant de x reste vraie quand x ≠ 0 si l’on remplace g^{jk}(0) par g^{jk}(x). Montrons que (3.3) reste encore vraie pour x = 0. D’après ce qui précède, la différence u = (∑ ∂_{j}(g^{jk}(x) − g^{jk}(0))∂_{k})F (|x|_{g}) est une distribution supportée par 0. Nous allons voir que, pour ϕ, ψ ∈ C_{0}^{∞}, si on pose ϕ_{ϵ}(x) = ϕ(\frac{x}{ϵ}),

on a < u, ψϕ_{ϵ} >⟶_{ϵ→0} 0 :

< u, ψϕ_{ϵ} >= ∑_{j,k} < (g^{jk}(x) − g^{jk}(0))∂_{k}(F (|x|_{g})), ∂_{j}(ψϕ_{ϵ}) > .

Or ∂_{j}(ψϕ_{ϵ}) = (∂_{j}ψ)ϕ_{ϵ} + \frac{1}{ϵ}ψ(∂_{j}ϕ)(\frac{x}{ϵ}). On suppose que ϕ ≡ 0 pour x ≥ r. Alors, en notant

f_{k} = ∂_{k}(F (|x|_{g})) ∈ Lloc^{1}, on a

| < u, ψϕ_{ϵ} > | ≤ ∑_{j,k} ∫_{B(0,rϵ)} |O(|x|)f_{k}(\frac{1}{ϵ}C_{1}(j) + C_{2}(j))| dx
≤ C ∑_{k} ∫_{B(0,rϵ)} |Mϵf_{k} \frac{1}{ϵ}| dx
≤ CM ∫_{B(0,rϵ)} |f| dx
≤ C′ϵ.

On choisit maintenant ϕ ∈ C_{0}^{∞} telle que ϕ ≡ 1 au voisinage de 0. Alors, u étant supportée par 0,

< u, ψ >=< u, ψϕ_{ϵ} + ψ(1 − ϕ_{ϵ}) >=< u, ψϕ_{ϵ} >⟶_{ϵ→0} 0,

donc

< u, ψ >= 0, ∀ψ ∈ C_{0}^{∞}.

On a ainsi montré que u = 0, et (3.3) est donc vraie pour tout x.

Si η ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}) est supportée dans un voisinage suffisamment petit de 0, on a, en notant H(x) = F (|x|_{g}) :

\begin{aligned}(P − z)(ηH) & = & η(0)(det g^{jk})^{\frac{1}{2}} δ_{0} + (P η)H − 2 (∑(∂_{j}H)g^{jk}(∂_{k}η)) + η ∑_{j} b^{j}(x)∂_{j}H \\ & = & η(0)(det g^{jk})^{\frac{1}{2}} δ_{0} + R(x, D)H, \end{aligned}

avec

R(x, D) = P η + ∑_{j} (ηb_{j}(x) − 2 ∑_{k}(∂_{k}η)g^{jk}) ∂_{j},

donc R(x, D) est de la forme R(x, D) = η_{0}(x) + ∑_{j} η_{j}(x)∂_{j} où les η_{i} sont des fonctions C_{0}^{∞} ayant les mêmes propriétés de support que η et ne dépendant pas de z.

3.3 Paramétrix avec paramètre

En suivant la même méthode que précédemment mais à l’aide des coordonnées géodésiques dépendant d’un paramètre, on obtient les formules suivantes, où s(x, y) est la distance riemannienne liée aux coordonnées géodésiques et définie sur un voisinage suffisamment petit de (0, 0) : si η ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n}) est supporté dans un voisinage suffisamment petit de (0, 0), on a

(P (x, D) − z)\{η(x, y)F (s(x, y))\} = η(y, y)(det g^{jk}(y))^{\frac{1}{2}} δ_{y}(x) + R(x, y, D)F (s(x, y)), (3.5)

où R(x, y, D) est un opérateur différentiel du premier ordre dépendant du paramètre y, et de la forme R(x, y, D) = η_{0}(x, y) + ∑ η_{j}(x, y)∂_{j}, les fonctions η_{j} étant C_{0}^{∞} et ayant les mêmes propriétés de support que η.

Nous allons maintenant utiliser les formules précédentes pour trouver un inverse approché de (P − z). Proposition 3.3.1. Soit η ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n}) supporté dans un voisinage suffisamment petit de (0, 0); on note η̃(x) = (det g^{jk}(x))^{\frac{1}{2}} η(x, 0). On a alors, pour u ∈ C^{∞}(ℝ^{n}) :

η̃(x)u(x) = T_{1}[(P (., D) − z)u](x) + (T_{2}u)(x),  (3.6)

où les opérateurs T_{i} peuvent s’écrire (T_{i}f)(x) = ∫ K_{i}(x, x − y)f(y) dy, avec les noyaux K_{i} de la forme

K_{1}(x, x − y) = η(x, x − y)F (s(x, y))  (3.7)

et

K_{2}(x, x − y) = β_{0}(x, x − y)F (s(x, y)) + ∑ β_{j}(x, x − y)∂_{j}F (s(x, y)).  (3.8)

Les fonctions β_{j} sont là encore C_{0}^{∞} et ont les mêmes propriétés de support que η.

Démonstration : En effet, soit ϕ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}) et u ∈ C^{∞}(ℝ^{n}). On pose α(y, x) = η(x, x−y). α vérifie les hypothèses qui permettent de lui appliquer la formule (3.5) :

\begin{aligned}(P (y, D) − z)\{α(y, x)F (s(x, y))\} & = & α(x, x)(det g^{jk}(x))^{\frac{1}{2}} δ_{x}(y) \\ & & +(α_{0}(y, x) + ∑_{j} α_{j}(y, x)∂_{j})F (s(x, y)). \end{aligned}

On pose

β_{j}(x, x − y) = −α_{j}(y, x).

Vérifions qu’on a bien alors, pour des opérateurs T_{i} définis selon les formules (3.7) et (3.8) :

∫ ϕ(x)(T_{1}[(P (., D) − z)u](x) + (T_{2}u)(x)) dx = ∫ ϕ(x)η̃(x)u(x) dx.  (3.9)

On note I_{1} = ∫ ϕ(x)(T_{1}[(P (., D) − z)u](x) dx. En remplaçant T_{1} par son expression et en utilisant le fait que P est autoadjoint, on obtient

I_{1} = ∫ ϕ(x) ∫ (P (y, D) − z){η(x, x − y)F (s(x, y))}u(y) dy dx,

d’où

I_{1} = ∫ ϕ(x) ∫ (α(x, x)(det g^{jk}(x))^{\frac{1}{2}} δ_{x}(y) + (α_{0} + ∑ α_{j}∂_{j})F (s(x, y))) u(y) dy dx.

Or,

I_{2} = ∫ ϕ(x)(T_{2}u)(x) dx = − ∫ ϕ(x) ∫ (α_{0}(y, x) + ∑ α_{j}(y, x)∂_{j})F (s(x, y))u(y) dy dx,

donc

I_{1} + I_{2} = ∫ ∫ ϕ(x)η(x, 0)(det g^{jk}(x))^{\frac{1}{2}} δ_{x}(y)u(y) dy dx = ∫ ϕ(x)η̃(x)u(x) dx,

ce qui est bien (3.9). (3.6) est donc vraie au sens des distributions. □

Coeur de la preuve

Nous noterons dans la suite α(q) = σ(q, n), α(∞) = σ(∞, n) = (n − 1)/2 et B_{ϵ} la boule de rayon ϵ de ℝ^{n}.

On suppose dans la suite que le symbole principal de P est défini positif.

4.1 Lemme principal

Nous voulons maintenant prouver le lemme suivant, dont nous avons vu au 1.4 qu’il impliquait le théorème 1.2.2 : Lemme 4.1.1. ∃C, ∀u ∈ C^{∞}(M), ∀k ≥ 1,

||u||_{L^{q}(M)} ≤ Ck^{α(q)−1}||(P − (k + i)^{2})u||_{L^{2}(M)} + Ck^{α(q)}||u||_{L^{2}(M)},  (4.1)
||χ_{k}u||_{L^{∞}(M)} ≤ Ck^{α(∞)−1}||(P − (k + i)^{2})u||_{L^{2}(M)} + Ck^{α(∞)}||u||_{L^{2}(M)}.  (4.2)

Comme on le voit en utilisant le fait que M est compacte et une partition de l’unité pour se ramener à des coordonnées locales, les inégalités (4.1) seront une conséquence du lemme principal suivant : Lemme 4.1.2. Soit X un ouvert de ℝ^{n}, n ≥ 2, contenant l’origine. Soit P (x, D) un opérateur différentiel du second ordre à coefficients C^{∞} et dont le symbole principal est réel et défini positif. Alors pour ϵ > 0 assez petit, il existe une constante C ne dépendant que de ϵ et P (x, D), telle que pour k ≥ 1,

||u||_{L^{q}(B_{ϵ})} ≤ Ck^{α(q)−1}||(P (x, D) − (k + i)^{2})u||_{L^{2}(B_{2ϵ})} + Ck^{α(q)}||u||_{L^{2}(B_{2ϵ})}.  (4.3)

Nous utiliserons pour démontrer ce lemme la méthode de la paramétrix introduite dans la partie précédente. Nous noterons dans la suite

F_{k}(x) = \frac{1}{(2π)^{n}} ∫_{ℝ^{n}} e^{ix·ξ}(|ξ|^{2} − (k + i)^{2})^{−1} dξ,

c’est à dire le potentiel de Bessel pour z = (k+i)^{2}. Remarquons que, quitte à faire un changement de coordonnées linéaire, on peut supposer que P (x, D) est égal à −Δ en x = 0.

On voit alors que les formules obtenues au 3.3 permettent de déduire le lemme 4.1.2 du lemme suivant :

Lemme 4.1.3. Soit P (x, D) comme dans le lemme 4.1.2, et soit s(x, y) la distance riemannienne associée. Alors, pour tout η ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n}) supporté dans un voisinage suffisamment petit de (0, 0), il existe une constante C ne dépendant que de η et P telle que

||∫ η(x, x − y)F_{k}(s(x, y))f(y) dy||_{L^{q}(ℝ^{n})} ≤ Ck^{α(q)−1}||f||_{L^{2}(ℝ^{n})},  (4.4)

||∫ η(x, x − y)∇_{y}F_{k}(s(x, y))f(y) dy||_{L^{q}(ℝ^{n})} ≤ Ck^{α(q)}||f||_{L^{2}(ℝ^{n})}.  (4.5)

En effet, soit ϵ assez petit pour que η ∈ C_{0}^{∞}(B_{2ϵ} × B_{2ϵ}) vérifie les hypothèses de (3.6) et du lemme 4.1.3. Quitte à prendre ϵ encore plus petit, on peut supposer que (det g^{jk}(x))^{\frac{1}{2}} ≥ \frac{1}{2} sur B_{ϵ}, car (det g^{jk}(0)) = 1. Soit alors η ∈ C_{0}^{∞}(B_{2ϵ} × B_{2ϵ}) tel que η ≡ 1 sur B_{ϵ} × B_{ϵ}.

\frac{1}{2}||u||_{L^{q}(B_{ϵ})} ≤ ||(det g^{jk}(x))^{\frac{1}{2}} u(x)||_{L^{q}(B_{ϵ})}
≤ ||η̃(x)u(x)||_{L^{q}(B_{2ϵ})}
≤ ||T_{1}[(P (x, D) − (k + i)^{2})u]||_{L^{q}(B_{2ϵ})} + ||T_{2}u||_{L^{q}(B_{2ϵ})}
≤ Ck^{α(q)−1}||(P (x, D) − (k + i)^{2})u||_{L^{2}(B_{2ϵ})} + Ck^{α(q)}||u||_{L^{2}(B_{2ϵ})}.

On admettra les résultats suivants sur les potentiels de Bessel F_{k}, obtenus par des méthodes de type “phase stationnaire” : Lemme 4.1.4. Il existe une constante C telle que, pour k ≥ 1, on ait les estimations suivantes :

(i) Pour n ≥ 3,

|F_{k}(x)| ≤ C|x|^{−(n−2)}, |x| ≤ 1/k,  (4.6)

pour n=2,

|F_{k}(x)| ≤ C log(1/|x|), |x| ≤ 1/k,  (4.7)

et pour n ≥ 2,

|∇F_{k}(x)| ≤ C|x|^{−(n−1)}, |x| ≤ 1/k.  (4.8)

(ii) Si |x| ≥ 1/k et n ≥ 2,

F_{k}(x) = k^{(n−1)/2−1}e^{−ik|x|}|x|^{−(n−1)/2}a_{1}(kx),  (4.9)

∇F_{k}(x) = k^{(n−1)/2}e^{−ik|x|}|x|^{−(n−1)/2}a_{2}(kx),  (4.10)

pour des fonctions a_{j} C^{∞} radiales satisfaisant à

|(∂/∂ρ)^{m}a_{j}(ρ)| ≤ C_{m}|ρ|^{−m}.  (4.11)

4.2 Décomposition dyadique

Nous démontrons maintenant l’inégalité (4.4), grâce à (4.6), (4.7) et (4.9). Nous supposerons dim M ≥ 3 pour l’instant, le cas dim M = 2 étant traité au 4.6.1.

On va introduire une décomposition dyadique : soit ψ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ), supp(ψ) ⊂ [\frac{1}{2}, 2] et ∀t ≥ 2, ∑_{ν=1}^{∞} ψ(2^{−ν}t) = 1. On pose ψ̃(t) = 1−∑_{ν=1}^{∞} ψ(2^{−ν}t). ψ̃ ≡ 0 sur [2, ∞[. Pour η ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}×ℝ^{n}) de support dans un voisinage de (0, 0) sur lequel s(x, y) est défini, on pose :

L_{0}(x, y) = ψ̃(k|x − y|)η(x, x − y)F_{k}(s(x, y)),

et pour ν ∈ ℕ^{∗},

L_{ν}(x, y) = ψ(2^{−ν}k|x − y|)η(x, x − y)F_{k}(s(x, y)).

On souhaite montrer qu’il existe ϵ ∈ (0, \frac{1}{2}) tel que pour tout η ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n}) vérifiant supp(η) ⊂ {(x, y)/|x|, |y| < ϵ}, il existe une constante C ne dépendant que de s et η telle que :

||∫ L_{ν}(x, y)f(y) dy||_{L^{q}} ≤ C(2^{−ν}k)^{−1/2}k^{α(q)−1}||f||_{2}, ν ∈ ℕ.  (4.12)

On obtiendra alors l’inégalité (4.4) par sommation d’une suite géométrique. En effet, on remarque tout d’abord que si ν ≥ log_{2} k + 1, alors 2^{ν−1} ≥ k, d’où 2^{−ν}k|x − y| ≤ \frac{1}{2} car ϵ ≤ \frac{1}{2}. Et donc L_{ν} ≡ 0 si ν ≥ log_{2} k + 1. En sommant les inégalités, on obtient enfin comme coefficient de ||f||_{2} dans le membre de droite :

Ck^{−1/2}k^{α(q)−1} ∑_{ν=0}^{log_{2} k+2}(\sqrt{2})^{ν} ≤ Ck^{α(q)−1}k^{−1/2} \frac{\sqrt{2}^{log_{2} k+2} − 1}{\sqrt{2} − 1} ≤ C′k^{α(q)−1}.

4.3 Le cas ν = 0

Si ϵ est assez petit, on peut utiliser l’inégalité (4.6), et on obtient ainsi :

||∫ ψ̃(k|x − y|)η(x, x − y)F_{k}(s(x, y))f(y) dy||_{L^{q}} ≤ C ||∫ h_{k}(x − y)f(y) dy||_{L^{q}} ,

où h_{k}(x) = ψ̃(kx)|x|^{−(n−2)}.

On utilise l’inégalité de Young généralisée : Théorème 4.3.1. Soit d ∈ ℕ^{∗}, 1 < p, q, r < +∞, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 2, alors ∀f, g, h mesurables positives sur ℝ^{d},

∫ ∫_{ℝ^{d}×ℝ^{d}} f(x)g(y)h(x − y) dxdy ≤ C||f||_{L^{p}}||g||_{L^{q}}A_{r}(h),

où

A_{r}(h) = (sup_{λ>0} λ^{r}m{x, h(x) > λ})^{1/r} .

On déduit de ce théorème le corollaire suivant, par dualité :

Corollaire 4.3.2. Soient d ∈ ℕ^{∗}, 1 < p, q, r < +∞, \frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{r} − 1, alors ∀f, h mesurables positives sur ℝ^{d},

||∫ f(x)h(x − y) dy||_{L^{q}} ≤ C||f||_{L^{p}}A_{r}(h).

Pour p = 2 et q = p_{n}, on a r = \frac{n+1}{n}. Calculons a_{k} = m\{x, |h_{k}(x)| > λ\} : si |h_{k}(x)| > λ alors |x| < C/k et |x|^{−(n−2)}ψ̃(kx) > λ, d’où |x| < λ^{− \frac{1}{n−2}} , et a_{k} ≤ α(min(C/k, 1/λ^{− \frac{1}{n−2}} ))^{n}. Après un petit calcul, on obtient A_{r}(h_{k}) ≤ k^{− \frac{n+2}{n+1}} , or −\frac{n+2}{n+1} = −\frac{1}{2} + (α(q) − 1), d’où

||∫ h_{k}(x − y)f(y) dy||_{L^{q}} ≤ Ck^{−1/2}k^{α(q)−1}||f||_{L^{2}}.

4.4 Le cas ν ≥ 1

Montrons que l’on peut conclure grâce au lemme suivant, que nous démontrerons au 4.5.3 : Lemme 4.4.1. Soit a(x, y) une fonction dont le support est inclus dans Ω = {(x, y) ∈ ℝ^{n} × ℝ^{n}/|x| < \frac{1}{4}, \frac{1}{2} < |y| < 2\}. Alors il existe un voisinage N de ϕ_{0}(x, y) = |x − y| pour la topologie C^{∞}, tel que, si ϕ ∈ N , il existe C ne dépendant que de la taille d’un nombre fini de dérivées de a, tel que :

∀λ > 0, ||∫ e^{iλϕ(x,y)}a(x, y)f(y) dy||_{q} ≤ Cλ^{−n/q}||f||_{2}.

En effet, on remarque déjà que les L_{ν} sont nuls pour |x − y| ≤ 1/k, donc on utilise les inégalités (4.9). On cherche maintenant à majorer

k^{\frac{n−1}{2} −1} ||∫ e^{−iks(x,y)}|s(x, y)|^{−(n−1)/2}a_{1}(ks(x, y))ψ(2^{−ν}k|x − y|)η(x, x − y)f(y) dy||_{q} .

En posant x′ = 2^{−ν}kx, y′ = 2^{−ν}ky et ϕ(x′, y′) = 2^{−ν}ks(x, y) ∈ N , on se ramène à la majoration de

||∫ e^{−i2^{ν}ϕ(x′,y′)}|x′ − y′|^{−(n−1)/2}a_{1}(2^{ν}(x′ − y′))ψ(|x′ − y′|)η′(x′, x′ − y′)f(2^{ν}k^{−1}y′) dy′||_{q} ,

avec un coefficient de la forme k^{\frac{n−1}{2} −1}(\frac{2^{−ν}}{k})^{n/q−(n−1)/2+n}.

Si on pose a(x′) = a_{1}(2^{ν}x′), la fonction a(x′ − y′) est bornée ainsi que ses dérivées sur le domaine d’intégration : sur celui-ci, |x′ − y′| ≥ C, or

|\frac{∂^{m}a}{∂u^{m}} (u)| ≤ 2^{mν} \frac{C_{m}}{|2^{ν}u|^{m}} ≤ C_{m}|u|^{−m}.

On peut donc appliquer le lemme 4.4.1, et on obtient comme majorant :

k^{\frac{n−1}{2} −1} (\frac{2^{ν}}{k} )^{n/q−(n−1)/2+n} C(2^{ν})^{−n/q}||g||_{2},

où g(x) = f(\frac{2^{ν}}{k} x).

||g||_{2} = (2^{−ν}k)^{n/2}||f||_{2}, le majorant s’écrit alors 2^{ν/2}k^{−1/2}k^{(n( \frac{1}{2} − \frac{1}{q})− \frac{1}{2} )−1}||f||_{2}. Or,

α(q) = \frac{n − 1}{2(n + 1)} = n (\frac{1}{2} − \frac{1}{q}) − \frac{1}{2},

donc on a bien obtenu un majorant de la forme

C(2^{−ν}k)^{−1/2}k^{(α(q)−1)}||f||_{2}.

4.5 Le lemme de Carleson-Sjölin

4.5.1 Opérateurs d’intégrale oscillante non-dégénérée

Théorème 4.5.1. Soit ϕ(x, y) une fonction réelle C^{∞} non-dégénérée au sens suivant :

det (\frac{∂^{2}ϕ}{∂x_{j}∂y_{k}} ) ≠ 0  (4.13)

sur le support de a(x, y) ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n}). Alors ∀λ > 0,

||∫_{ℝ^{n}} e^{iλϕ(x,y)}a(x, y)f(y) dy||_{L^{2}(ℝ^{n})} ≤ Cλ^{−n/2}||f||_{L^{2}(ℝ^{n})}.  (4.14)

Démonstration : On notera T_{λ}f(x) = ∫_{ℝ^{n}} e^{iλϕ(x,y)}a(x, y)f(y) dy. Une conséquence immédiate de (4.13) est que

|∇_{x}[ϕ(x, y) − ϕ(x, z)]| ≈ |y − z|  (4.15)

quand |y − z| est petit. En effet, ∇_{x}[ϕ(x, y) − ϕ(x, z)] = (\frac{∂^{2}ϕ(x,y)}{∂x_{j}∂y_{k}}) (y − z) + O(|y − z|^{2}).

En utilisant une partition de l’unité, on décompose a(x, y) en un nombre fini de morceaux sur le support desquels (4.15) est vérifiée. On peut donc supposer dans la suite qu’il existe c > 0 tel que, sur le support de a, on ait :

|∇_{x}[ϕ(x, y) − ϕ(x, z)]| > c|y − z|.  (4.16)

On remarque d’autre part que

||T_{λ}f||_{2}^{2} = ∫ ∫ K_{λ}(y, z)f(y)\overline{f(z)} dydz,  (4.17)

où l’on note

K_{λ}(y, z) = ∫_{ℝ^{n}} e^{iλ[ϕ(x,y)−ϕ(x,z)]}a(x, y)\overline{a(x, z)} dx.

Grâce à (4.16), on peut appliquer le lemme classique suivant, dit de la phase non-stationnaire : Lemme 4.5.2. Soient a ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n}) et ϕ ∈ C^{∞} tel que |∇_{x}ϕ| ≥ c > 0 sur le support de a. Alors pour tout N ∈ ℕ^{∗}, il existe C_{N} tel que

∀λ > 1, |∫ e^{iλϕ(x)}a(x) dx| ≤ C_{N}(1 + λ)^{−N},

où C_{N} ne dépend que de c si a et ϕ appartiennent à une partie bornée de C^{∞} et si a est à support dans un compact fixé.

On obtient alors :

∀N, |K_{λ}(y, z)| ≤ C_{N}(1 + λ|y − z|)^{−N}.

Donc, par un résultat classique sur la convolution, on voit que l’opérateur de noyau K_{λ} est continu de L^{2} dans L^{2} de norme O(λ^{−n}). On déduit ainsi de (4.17) :

||T_{λ}f||_{2}^{2} ≤ Cλ^{−n}||f||_{2}^{2}.
□

4.5.2 Lemme de Carleson-Sjölin

Définition 4.5.3. Soit S : y ∈ ℝ^{n−1} ⟼ ϕ(y) ∈ ℝ^{n} une hypersurface C^{∞} plongée dans ℝ^{n}. Pour y_{0} fixé, il existe d’uniques points antipodaux ±ν(y_{0}) ∈ S^{n−1} telles que

∇_{y} < ϕ(y), ν(y_{0}) >= 0 en y = y_{0},

qui ne sont autres que les normales unitaires en ϕ(y_{0}) à S. On dit que S vérifie l’hypothèse de courbure si

det (\frac{∂^{2}}{∂y_{j}∂y_{k}} < ϕ(y), ν(y_{0}) >) ≠ 0 en y = y_{0}.  (4.18)

Définition 4.5.4. Soient ψ(z, w) ∈ C^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n−1}) à valeurs réelles, et a(z, w) ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n−1}). On suppose que

rg (\frac{∂^{2}ψ}{∂w_{i}∂z_{j}} ) ≡ n − 1.

S_{z_{0}} = {ψ′_{z}(z_{0}, w)/(z_{0}, w) ∈ supp(a)} ⊂ T_{z_{0}}^{∗}ℝ^{n} est alors une hypersurface C^{∞}. Si S_{z_{0}} vérifie l’hypothèse de courbure, alors on dit que ψ vérifie la condition de Carleson-Sjölin. Théorème 4.5.5. Soit a(z, y) ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n−1}) et ψ ∈ C^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n−1}) vérifiant la condition de Carleson-Sjölin. On pose T_{λ}f(z) = ∫_{ℝ^{n−1}} e^{iλψ(z,y)}a(z, y)f(y) dy. Alors

||T_{λ}f||_{L^{q}(ℝ^{n})} ≤ C_{p}λ^{−n/q}||f||_{L^{p}(ℝ^{n−1})},  (4.19)

avec 1 ≤ p ≤ 2 et q = \frac{n+1}{n−1}p′. De plus, si a et ψ sont respectivement C_{0}^{∞} et C^{∞} par rapport à un paramètre, alors tout est uniforme en le paramètre.

Démonstration : Puisque a ∈ C_{0}^{∞}, l’inégalité (4.19) est évidente dans le cas p = 1 et q = ∞. Donc, grâce au théorème d’interpolation 1.4.2, on se ramène à montrer que (4.19) est vraie pour p = 2 :

||T_{λ}f||_{L^{\frac{2(n+1)}{n−1}} (ℝ^{n})} ≤ Cλ^{− \frac{n(n−1)}{2(n+1)}} ||f||_{L^{2}(ℝ^{n−1})}.  (4.20)

Par dualité, il est équivalent de montrer que l’adjoint T_{λ}^{∗} envoie L^{\frac{2(n+1)}{n+3}} (ℝ^{n}) dans L^{2}(ℝ^{n−1}) avec les mêmes bornes. On remarque que :

\begin{aligned}||T_{λ}^{∗}g||_{2}^{2} = ∫_{ℝ^{n−1}} T_{λ}^{∗}g\overline{T_{λ}^{∗}g} dy & = & ∫_{ℝ^{n}} T_{λ}T_{λ}^{∗}g\overline{g} dz \\ & ≤ & ||T_{λ}T_{λ}^{∗}g||_{L^{\frac{2(n+1)}{n−1}} (ℝ^{n})}||g||_{L^{\frac{2(n+1)}{n+3}} (ℝ^{n})}. \end{aligned}

On pourra donc conclure que (4.20) est vraie si on a :

||T_{λ}T_{λ}^{∗}g||_{L^{\frac{2(n+1)}{n−1}} (ℝ^{n})} ≤ Cλ^{− \frac{n(n−1)}{n+1}} ||g||_{L^{\frac{2(n+1)}{n+3}} (ℝ^{n})}.  (4.21)

On s’est ainsi ramené à montrer une inégalité sur des fonctions faisant intervenir le même nombre de variables. On a rg (\frac{∂^{2}ψ}{∂y_{j}∂z_{k}} ) ≡ n − 1, et on peut donc supposer que, en décomposant z ∈ ℝ^{n} selon z = (x, t) ∈ ℝ^{n−1} × ℝ, on a localement autour de (z_{0}, y_{0}) :

det (\frac{∂^{2}}{∂x_{j}∂y_{k}} ψ(x, t; y)) ≠ 0.  (4.22)

Enfin, en utilisant une partition de l’unité, on voit que l’on peut supposer (4.22) vraie sur le support de a.

On définit alors les opérateurs

T_{t}^{λ}f(x) = ∫_{ℝ^{n−1}} e^{iλψ(x,t;y)}a(x, t; y)f(y) dy.

On a en fait (T_{λ}f)(x, t) = (T_{t}^{λ}f)(x). Calculons T_{λ}^{∗} :

< T_{λ}^{∗}f, g >_{ℝ^{n−1}} = < f, T_{λ}g >_{ℝ^{n}}
= ∫ ∫ f(x, t)(T_{t}^{λ}g)(x) dxdt
= ∫ ∫ ((T_{t}^{λ})^{∗}f(·, t))(x) dt g(x) dx,

d’où

(T_{λ}^{∗}f)(x) = ∫_{−∞}^{+∞}((T_{t}^{λ})^{∗}f(·, t))(x) dt.

On en déduit

(T_{λ}T_{λ}^{∗}g)(x, t) = (T_{t}^{λ}T_{λ}^{∗}g)(x) = ∫_{−∞}^{+∞} T_{t}^{λ}((T_{t′}^{λ})^{∗}g(·, t′))(x) dt′.  (4.23)

Montrons que (4.21) est une conséquence de l’estimation suivante :

||T_{t}^{λ}(T_{t′}^{λ})^{∗}f||_{L^{qn}(ℝ^{n−1})} ≤ C|t − t′|^{−1+( \frac{1}{pn} − \frac{1}{qn})}λ^{− \frac{n(n−1)}{n+1}} ||f||_{L^{pn}(ℝ^{n−1})}.  (4.24)

En effet, en utilisant le fait que || ∫ g(·, t) dt||_{L^{s}} ≤ ∫ ||g(·, t)||_{L^{s}} dt, on obtient grâce à (4.24) :

||(T_{λ}T_{λ}^{∗}g)(·, t)||_{L^{qn}(ℝ^{n−1})} ≤ Cλ^{− \frac{n(n−1)}{n+1}} ∫_{−∞}^{+∞} |t − t′|^{−1+( \frac{1}{pn} − \frac{1}{qn})}||g(·, t′)||_{L^{pn}(ℝ^{n−1})} dt′.

En intégrant l’inégalité précédente élévée à la puissance q_{n} et en appliquant l’inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev (corollaire 4.3.2 avec h de la forme 1/|x|^{α}), on obtient :

||T_{λ}T_{λ}^{∗}g||_{L^{qn}(ℝ^{n})} ≤ Cλ^{− \frac{n(n−1)}{n+1}} (∫_{−∞}^{+∞} |∫_{−∞}^{+∞} |t − t′|^{−1+( \frac{1}{pn} − \frac{1}{qn})}||g(·, t′)||_{L^{pn}(ℝ^{n−1})} dt′|^{q_{n}} dt)^{1/q_{n}}
≤ C′λ^{− \frac{n(n−1)}{n+1}} (∫_{−∞}^{+∞} ||g(·, t)||_{L^{pn}(ℝ^{n−1})}^{p_{n}} dt)^{1/p_{n}}
≤ C′λ^{− \frac{n(n−1)}{n+1}} ||g||_{L^{pn}(ℝ^{n})}.

Il nous reste à prouver (4.24). Nous allons à nouveau utiliser le théorème d’interpolation 1.4.2 entre les estimations L^{2} → L^{2} et L^{1} → L^{∞}.

Pour L^{2} → L^{2}, on peut d’après (4.22) utiliser le théorème 4.5.1, ce qui nous donne :

||T_{t}^{λ}f||_{L^{2}(ℝ^{n−1})} ≤ Cλ^{− \frac{n−1}{2}} ||f||_{L^{2}(ℝ^{n−1})}.

L’adjoint vérifie les mêmes bornes, donc :

||T_{t}^{λ}(T_{t′}^{λ})^{∗}f||_{L^{2}(ℝ^{n−1})} ≤ Cλ^{−(n−1)}||f||_{L^{2}(ℝ^{n−1})}.  (4.25)

Essayons maintenant d’obtenir une estimation L^{1} → L^{∞}. Remarquons tout d’abord que le noyau de T_{t}^{λ}(T_{t′}^{λ})^{∗} est

K_{t,t′}^{λ}(x, x′) = ∫_{ℝ^{n−1}} e^{iλ[ψ(x,t;y)−ψ(x′,t′;y)]}a(x, t; y)\overline{a(x′, t′; y)} dy.

Montrons que

|K_{t,t′}^{λ}(x, x′)| ≤ C(λ|(x, t) − (x′, t′)|)^{− \frac{n−1}{2}} .  (4.26)

D’après la formule de Taylor, on a

ψ(x, t; y) − ψ(x′, t′; y) =< ∇_{x,t}ψ(x, t; y), ((x, t) − (x′, t′)) > +|(x, t) − (x′, t′)|g(z, z′, y),

avec g(z, z′, y) = O(|(x, t) − (x′, t′)|). On note ±ν(z_{0}, y_{0}) les normales unitaires en y_{0} à S_{z_{0}}. Si (x, t) − (x′, t′) est dans un voisinage conique suffisamment petit de ±ν(z_{0}, y_{0}), on déduit (4.26) de la formule de la phase stationnaire, en supposant que (x′, t′) est proche de (x, t) quitte à réduire le support de a. En effet, notons

α(z, z′, u, y) =< ∇_{z}ψ(z; y), u > +g(z, z′, y).

On remarque que, si y est la variable et z, z′, u les paramètres, y_{0} est point critique non-dégénéré de α pour les valeurs z = z_{0}, z′ = z′_{0}, u = ±ν(z_{0}, y_{0}) des paramètres. On peut donc appliquer la formule de la phase stationnaire, et on obtient, si (z, z′, \frac{z−z′}{|z−z′|}) est dans un voisinage suffisamment petit de (z_{0}, z_{0}, ±ν(z_{0}, y_{0})),

|∫_{ℝ^{n−1}} e^{iλ|z−z′|α(z,z′,y)}a(z; y)\overline{a(z′; y)} dy| ≤ C(λ|(x, t) − (x′, t′)|)^{− \frac{n−1}{2}} .

Si (x, t) − (x′, t′) est en dehors de ce voisinage, on a par définition de ν(x, t) qu’il existe c > 0 tel que :

|∇_{y}[ψ(x, t; y) − ψ(x′, t′; y)]| ≥ c|(x, t) − (x′, t′)|,

en supposant à nouveau que (x′, t′) est proche de (x, t). Le lemme de la phase non-stationnaire permet alors d’obtenir une estimation bien plus forte que (4.26) puisqu’on peut remplacer (n − 1)/2 par n’importe quel entier N.

On déduit immédiatement de (4.26) que

||T_{t}^{λ}(T_{t′}^{λ})^{∗}f||_{L^{∞}(ℝ^{n−1})} ≤ Cλ^{− \frac{n−1}{2}} |t − t′|^{− \frac{n−1}{2}} ||f||_{L^{1}(ℝ^{n−1})}.  (4.27)

Or

λ^{− \frac{n(n−1)}{n+1}} = (λ^{−(n−1)})^{\frac{n−1}{n+1}} (λ^{− \frac{n−1}{2}} )^{\frac{2}{n+1}} ,
|t − t′|^{−1+( \frac{1}{pn} − \frac{1}{qn})} = (|t − t′|^{− \frac{n−1}{2}} )^{\frac{2}{n+1}} ,

donc on déduit (4.24) de (4.25) et (4.27) par interpolation.

Remarquons que, en ce qui concerne la dépendance par rapport à un paramètre, la seule partie de la démonstration qui pourrait poser problème est l’application de la phase stationnaire, or on peut toujours faire varier un paramètre s au voisinage de s_{0} si l’on suppose que, pour la valeur s = s_{0} du paramètre, la phase admet un point critique non-dégénéré : on aura bien des inégalités uniformes en s sur un voisinage de s_{0}, et l’on se ramène à ce voisinage en découpant le support de a par partition de l’unité. □ Corollaire 4.5.6. Soient a(z, w) ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n}) et ψ(z, w) ∈ C^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n}) tels que, à t ∈ ℝ fixé et en notant w = (y, t), l’application ϕ(z, y) = ψ(z; y, t) vérifie la condition de Carleson-Sjölin. Alors, ∀λ > 0,

||∫_{ℝ^{n}} e^{iλψ(z,w)}a(z, w)f(w) dw||_{L^{q}(ℝ^{n})} ≤ C_{p}λ^{−n/q}||f||_{L^{p}(ℝ^{n})},  (4.28)

avec 1 ≤ p ≤ 2 et q = \frac{n+1}{n−1}p′.

Démonstration : On applique le théorème 4.5.5 à ϕ :

||∫_{ℝ^{n}} e^{iλψ(z,w)}a(z, w)f(w) dw||_{L^{q}(ℝ^{n})} ≤ ∫ ||∫_{ℝ^{n−1}} e^{iλψ(z;y,t)}a(z; y, t)f(y, t) dy||_{L^{q}(ℝ^{n})} dt
≤ C′_{p}λ^{−n/q} ∫ ||f(·, t)||_{L^{p}(ℝ^{n−1})} dt
≤ C_{p}λ^{−n/q}||f||_{L^{p}(ℝ^{n})},

en appliquant l’inégalité de Hölder et en remarquant que l’on peut supposer f à support compact puisque a l’est. □

4.5.3 Adaptation à notre cas

Nous sommes, avec les notations introduites précédemment, dans le cas où ψ(z, w) = |z−w|. Montrons que l’on peut localement décomposer w de manière à ce que ψ vérifie les hypothèses du corollaire 4.5.6. On rappelle que a est supposée à support dans K compact sur lequel z ≠ w. Calculons tout d’abord le rang de la Hessienne mixte de ψ, (\frac{∂^{2}ψ}{∂z_{i}∂w_{j}} ) . En remarquant que ψ^{2} = ∑_{i}(z_{i} − w_{i})^{2}, on obtient

\frac{∂^{2}ψ}{∂z_{i}∂w_{j}} = \frac{1}{2ψ} (−2δ_{ij} + \frac{2}{ψ^{2}} (z_{i} − w_{i})(z_{j} − w_{j})).

On note α_{i} = (z_{i} − w_{i}). On a alors (α_{i}) ≠ (0) et ψ^{2} = |α|^{2}, et on remarque que

((z_{i} − w_{i})(z_{j} − w_{j}))_{i,j} = αα^{t}.

Finalement,

(\frac{∂^{2}ψ}{∂z_{i}∂w_{j}} ) = \frac{1}{2ψ} (−2Id + \frac{2}{ψ^{2}} αα^{t}).

On note (e_{1}, …, e_{n}) la base canonique de ℝ^{n}. Soit P ∈ O_{n}(ℝ) telle que P α = |α|e_{1}. Alors

rg (αα^{t} − |α|^{2}Id) = rg (P (αα^{t} − |α|^{2}Id)P^{t}) = rg ((P α)(P α)^{t} − |α|^{2}Id) ,

d’où

rg (\frac{∂^{2}ψ}{∂z_{i}∂w_{j}} ) = rg ( \begin{matrix}0 \\ & −|α|^{2} \\ & & . & . & . \\ & & & & & −|α|^{2} \end{matrix} ) = n − 1.

|α| ≠ 0, donc on peut supposer, quitte à réduire le support de a et à faire une permutation sur les coordonnées, que α_{n} ≠ 0 sur le support de a. La matrice (a_{i}a_{j})_{1≤i,j≤n−1} a pour valeurs propres 0 et ∑_{i=1}^{n−1} |a_{i}|^{2} si celui-ci est non nul. α_{n} ≠ 0, d’où ∑_{i=1}^{n−1} |a_{i}|^{2} ≠ |a|^{2}, et la matrice (a_{i}a_{j} − |a|^{2}δ_{ij})_{1≤i,j≤n−1} est donc inversible.

On décompose ainsi w en w = (y, t) ∈ ℝ^{n−1} × ℝ, avec rg (\frac{∂^{2}ψ}{∂z_{i}∂y_{j}} ) ≡ n − 1. On reprend les notations introduites au 4.5.2. On a alors

ϕ′_{z}(z_{0}, y) = \frac{1}{ϕ(z_{0}, y)} ( (z_{0})_{1} − y ; ⋮ ; (z_{0})_{n} − y ) ∈ S^{n−1}.

On a donc S_{z_{0}} = S^{n−1}, et les normales en u ∈ S_{z_{0}} ne sont autres que ±u :

ν(z_{0}, y_{0}) = ϕ′_{z}(z_{0}, y_{0}).

Il ne reste plus qu’à vérifier la condition de courbure pour ϕ, ce qui revient à montrer que

det (\frac{∂^{2}}{∂y_{j}∂y_{k}} < ϕ′_{z}(z_{0}, y), ϕ′_{z}(z_{0}, y_{0}) >) ≠ 0 sur le support de a.

On pose β(y) =< ϕ′_{z}(z_{0}, y), ϕ′_{z}(z_{0}, y_{0}) > . D’après ce qui précède, ∇_{y}β(y_{o}) = 0. En utilisant ce fait, on obtient dans le calcul des dérivées secondes

\begin{aligned}\frac{∂^{2}}{∂y_{j}∂y_{k}} α(y)_{|y=y_{0}} & = & \frac{1}{ϕ^{4}(z_{0},y_{0})} (−δ_{kj}ϕ^{2}(z_{0}, y_{0}) + ((z_{0})_{j} − (y_{0})_{j})((z_{0})_{k} − (y_{0})_{k})) \\ & = & \frac{1}{ϕ^{4}(z_{0},y_{0})} (α′(α′)^{t} − |α|^{2}Id_{n−1}) , \end{aligned}

où α = ( \begin{matrix}α′ \\ α_{n} \end{matrix} ) . On a vu que cette dernière matrice était inversible par suite du choix des

coordonnées, et ϕ vérifie donc la condition de Carleson-Sjölin.

La condition de Carleson-Sjölin étant une condition ouverte, on voit qu’il existe un voisinage N de ψ pour la topologie C^{∞} tel que si θ ∈ N , θ vérifie les hypothèses du corollaire 4.5.6. On a ainsi montré le lemme 4.4.1.

4.6 Adaptations à apporter pour dim M = 2 et (4.5)

4.6.1 dim M = 2

En regardant la démonstration dans le cas dim M ≥ 3, on voit que le seul changement interviendra dans la gestion du cas ν = 0, et plus précisément au moment d’appliquer l’inégalité de Young généralisée, puisque c’est la seule partie de la démonstration où interviennent les estimations pour des x inférieurs à 1/k. La majoration en |x|^{−(n−2)} est remplacée par une majoration en | log(|x|)|, qui est plus forte. Le calcul de A_{r}(h_{k}) avec h_{k}(x) = ψ̃(kx)| log(|x|)| donne donc une borne meilleure que k^{− \frac{n+2}{n+1}} :

(log k)^{n}k^{− \frac{n^{2}}{n+1}} .

4.6.2 Démonstration de (4.5)

Dans le cas de l’inégalité (4.5), il faut observer l’effet de la substitution de ∇_{y}F_{k} à F_{k} dans la démonstration. Pour ν ≥ 1, le changement est évident, puisque la différence entre les formules (4.9) et (4.10) est un facteur k, que l’on retrouve entre les inégalités (4.4) et (4.5). Pour ν = 0, calculons A_{r}(h_{k}) pour h_{k}(x) = ψ̃(kx)|x|^{−(n−1)}; de manière analogue à ce que l’on a fait au 4.3, on se ramène au calcul suivant :

sup_{λ>0}(λ(min(\frac{1}{k} , \frac{1}{λ^{\frac{1}{n−1}}} ))^{\frac{n^{2}}{n+1}} ) = k^{− \frac{1}{n+1}} = k^{− \frac{1}{2}} k^{α(q)}.

On obtient ainsi une inégalité similaire à (4.12), avec un facteur k en plus dans le membre de droite, que l’on retrouve dans (4.5).

4.7 Démonstration de (4.2)

On va démontrer la variante du lemme 4.1.3 suivante : Lemme 4.7.1. Soient P (x, D) et s(x, y) comme dans le lemme 4.1.3. Alors, pour tout η ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{n} × ℝ^{n}) supporté dans un voisinage suffisamment petit de (0, 0), il existe une constante C ne dépendant que de η et P telle que

||∫ η(x, x − y)F_{k}(s(x, y))f(y) dy||_{L^{∞}} ≤ Ck^{α(∞)−1}||f||_{L^{2}} + Ck^{−2}||f||_{L^{∞}},  (4.29)

||∫ η(x, x − y)∇_{y}F_{k}(s(x, y))f(y) dy||_{L^{∞}} ≤ Ck^{α(∞)}||f||_{L^{2}} + Ck^{−1}||f||_{L^{∞}}.  (4.30)

Les termes en ||f||_{L^{∞}} qui n’apparaissaient pas au lemme 4.1.3 proviennent du cas ν = 0, en suivant les notations introduites précédemment. En effet,

||∫ h_{k}(x − y)f(y) dy||_{L^{∞}} ≤ ||f||_{L^{∞}} ||∫ h_{k}(x − y) dy||_{L^{∞}} ≤ ||f||_{L^{∞}}||h_{k}||_{L^{1}},

avec h_{k} ayant des formes différentes selon les cas.

Pour (4.29), h_{k}(x) = ψ̃(kx)|x|^{−(n−2)}, et on trouve

||h_{k}||_{L^{1}} ≤ C ∫_{B(0,C/k)} |x|^{−(n−2)} dx ≤ C ∫_{0}^{C/k} r dr ≤ C/k^{2}.

Pour (4.30), h_{k}(x) = ψ̃(kx)|x|^{−(n−1)}, et on trouve

||h_{k}||_{L^{1}} ≤ ∫_{0}^{C/k} dr ≤ C/k.

Le cas ν ≥ 1 donne les termes qui apparaissaient déjà au lemme 4.1.3. En effet, le lemme de Carleson-Sjölin appliqué avec p = 1 et q = ∞ nous donne (pour la démonstration de (4.29) et dans le cas dim M ≥ 3) des inégalités de la forme :

||∫ L_{ν}(x, y)f(y) dy||_{L^{∞}} ≤ C(2^{ν}/k)^{(n+1)/2}k^{α(∞)−1}||g||_{1},  (4.31)

où g = f(\frac{2^{ν}}{k} x), donc ||g||_{1} = 2^{−ν}k||f||_{1}. Or ||f||_{1} ≤ C||f||_{2}, car on est à support compact (indépendant de k). On obtient donc un majorant de la forme k^{α(∞)−1}C(2^{−ν}k)^{1/2}||f||_{2}. La sommation des termes de la suite géométrique donne le résultat : ∑_{1}^{log(k)+2}(2^{−ν}k)^{1/2} ≈ 1. Les autres cas se traitent de la même manière.

À partir du lemme 4.7.1, on montre comme au 4.1 que

||u||_{L^{∞}(B_{ϵ})} ≤ Ck^{−2}||(P (x, D) − (k + i)^{2})u||_{L^{∞}(B_{2ϵ})}
+Ck^{−1}||u||_{L^{∞}(B_{2ϵ})}
+Ck^{α(∞)−1}||(P (x, D) − (k + i)^{2})u||_{L^{2}(B_{2ϵ})}
+Ck^{α(∞)}||u||_{L^{2}(B_{2ϵ})}.

En utilisant la compacité de M, on obtient pour k suffisamment grand :

||u||_{L^{∞}(M)} ≤ Ck^{−2}||(P (x, D) − (k + i)^{2})u||_{L^{∞}(M)}
+Ck^{α(∞)−1}||(P (x, D) − (k + i)^{2})u||_{L^{2}(M)}
+Ck^{α(∞)}||u||_{L^{2}(M)}.

On a vu au 1.5 que pour k ∈ [2^{m}, 2^{m+1}], ||χ_{k}f||_{L^{2}} ≤ C(2^{m})^{n(1/p−1/2)}||f||_{L^{p}}. Pour p = 1 et par dualité, on obtient

||χ_{k}f||_{L^{∞}} ≤ Ck^{n/2}||f||_{L^{2}}.

Or χ_{k}((P − (k + i)^{2})u) = (P − (k + i)^{2})χ_{k}u, d’où

||(P − (k + i)^{2})χ_{k}u||_{L^{∞}} ≤ Ck^{n/2}||(P − (k + i)^{2})u||_{L^{2}}.

Donc, sachant que n/2 − 2 < α(∞) − 1,

||χ_{k}u||_{L^{∞}(M)} ≤ Ck^{α(∞)−1}||(P − (k + i)^{2})u||_{L^{2}} + Ck^{α(∞)−1}||χ_{k}(P − (k + i)^{2})u||_{L^{2}}
+Ck^{α(∞)}||χ_{k}u||_{L^{2}}
≤ Ck^{α(∞)−1}||(P − (k + i)^{2})u||_{L^{2}} + Ck^{α(∞)}||u||_{L^{2}}.

Bibliographie

[AlGe] S. Alinhac, P. Gérard Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser CNRS Éditions (1991).

[Bes] A. L. Besse Manifolds all of whose Geodesics are closed Springer-Verlag (1971).

[Car] M. P. do Carmo Riemannian Geometry Birkhauser (1992).

[GHL] S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine Riemannian Geometry Springer-Verlag (1987).

[Hor] L. Hörmander The Analysis of Linear Partial Differential Equations, Vol. III Springer-Verlag (1985).

[LiLo] H. Lieb, M. Loss Analysis GSM 14, AMS (1997).

[So1] C. D. Sogge Concerning the L^{p} norm of spectral clusters for second-order elliptic operators on compact manifolds Journal of Functional Analysis 77, 123-138 (1988).

[So2] C. D. Sogge Fourier Integrals in Classical Analysis Cambridge University Press (1993).

[Spi] M. Spivak Differential Geometry, Vol. I Publish or Perish (1979).

[StWe] E. M. Stein, G. Weiss Fourier Analysis on Euclidean Spaces Princeton University Press (1971).

[Ste] E. M. Stein Harmonic Analysis Princeton University Press (1993).