M.M.F.A.I. Année 1999/2000

Polynômes Invariants

Jonathan Le Roux Julien Lévy Exposé de maîtrise sous la direction de Yves Benoist

Jeudi 8 juin 2000

Table des matières

1 Introduction 3

2 Invariants et Théorème de Hilbert 3 2.1 Algèbre des invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Hilbert’s Basis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Théorème de finitude de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Séries de Poincaré 6 3.1 Modules gradués et Séries de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Théorème de Hilbert-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.3 Étude du pôle en t = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4 Théorème de Molien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.5 Séries de Poincaré et pseudo-réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Homologie et algèbres graduées 14

4.1 Notions d’homologie algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.1.1 Modules projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.1.2 Foncteur de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.1.3 Foncteur Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Lemme de Nakayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3 Modules plats, modules projectifs et modules libres . . . . . . . . . . . . 16

5 Algèbres graduées et dimension globale 17 5.1 Complexe de Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2 Théorème de Hilbert des syzygies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.3 Théorème de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Théorème de Shephard-Todd 20 6.1 Choix de polynômes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.2 Théorème de Shephard-Todd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Introduction

Nous nous intéressons dans cet exposé aux polynômes sur un espace vectoriel invariants par l’action d’un groupe fini. Hilbert démontre dans un célèbre théorème que l’algèbre des polynômes invariants est de type fini. Nous souhaitons ici caractériser le fait que cette algèbre est une algèbre de polynômes. Shephard, Todd et Chevalley ont démontré que c’était le cas si et seulement si le groupe était engendré par des pseudo-réflexions, i.e. des automorphismes différents de l’identité, d’ordre fini, ayant un hyperplan de points fixes. Pour démontrer ce théorème, nous introduirons la notion de série de Poincaré, avec en particulier les théorèmes de Hilbert-Serre et de Molien, et des notions d’homologie algébrique, notamment le théorème des sysygies de Hilbert. Nous admettrons dans cet exposé le théorème de Serre, réciproque du théorème des sysygies.

2 Invariants et Théorème de Hilbert

2.1 Algèbre des invariants

Soit G un groupe fini, 𝔽 un corps, V un 𝔽-espace vectoriel de dimension finie, et ρ : G → Aut(V) = GL(V) une représentation de G sur V. G agit sur V via ρ par automorphismes.

Pour un espace vectoriel V sur 𝔽, on note 𝔽[V] l’algèbre des fonctions polynômes sur V, définie comme étant l’algèbre symétrique sur V^{∗}, dual de V. Si V est de dimension n sur 𝔽, et x_{1}, …, x_{n} est une base de V^{∗}, alors : 𝔽[V] = 𝔽[x_{1}, …, x_{n}]. On note 𝔽[V]_{n} la composante homogène de degré n de 𝔽[V]. On considère aussi les éléments de 𝔽[V] comme des fonctions de V dans 𝔽.

Une fois donnée une représentation ρ : G → GL(V), le groupe G agit sur 𝔽[V] via

(gf)(v) := f(ρ(g^{−1})v),

pour tout g ∈ G et tout v ∈ V. L’objet fondamental de la théorie des invariants est l’ensemble des points fixes de l’action de G, l’anneau des invariants :

𝔽[V]^{G} := {f ∈ 𝔽[V]| gf = f ∀g ∈ G}.

Si ρ n’est pas injective, ρ induit une représentation injective ρ̃: G/ker(ρ) ↪ GL_{n}(𝔽). Il est clair que 𝔽[V]^{G} = 𝔽[V]^{G/ker(ρ)}, et on peut donc supposer sans perte de généralité que ρ est injective.

2.2 Hilbert’s Basis Theorem

Définition 2.2.1. Un module M sur un anneau commutatif A est dit noethérien si toute suite croissante de sous-modules est stationnaire. Un anneau A est dit noethérien s’il est noethérien comme A-module.

On montre facilement que comme dans le cas des anneaux noethériens, cette définition est équivalente au fait que tout sous-module de M est de type fini, ou encore au fait que toute famille non vide de sous-modules admet un élément maximal. Il est clair qu’un sousmodule et un quotient d’un module noethérien sont noethériens. Plus généralement, si M est noethérien et N est un autre module sur le même anneau, un morphisme surjectif de M sur N rend N noethérien. Réciproquement, si N et M/N sont noethériens, alors M est noethérien : en effet, si L est un sous-module de M, L∩N et L/L∩N ≃ (L+N)/N sont de type fini, donc L aussi. On en déduit qu’une somme directe finie de modules noethériens est un module noethérien, et en particulier que si A est un anneau noethérien, A^{n} est un A-module noethérien. Les quotients de A^{n} étant aussi noethériens, on en déduit la Proposition 2.2.2. Un module M sur un anneau noethérien A est noethérien si et seulement si il est de type fini.

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Corollaire 2.2.3. Un sous-module d’un module de type fini sur un anneau noethérien est de type fini.

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Théorème 2.2.4. (Théorème de la base de Hilbert) Si A est un anneau commutatif noethérien, alors A[X] est aussi un anneau commutatif noethérien.

Démonstration : Il suffit de montrer que tout idéal I de A[X] est de type fini. Soit I′ l’idéal de A engendré par les coefficients dominants des polynômes de I. A étant noethérien, I′ est de type fini, engendré par a_{1}, …, a_{n}. Soient f_{1}, …, f_{n} ∈ I des polynômes ayant ces coefficients dominants, soit t le maximum des degrés des f_{i}, et soit I_{0} l’idéal de A[X] engendré par les f_{i}. Si f est un polynôme de I de degré au moins t, son coefficient dominant est dans I′, et l’on peut soustraire une combinaison linéaire de produits de f_{i} et de puissances de x pour éliminer le coefficient dominant de f. On a alors f = g + h, avec g ∈ I_{0}, h ∈ I, et deg(h) < deg(f). En répétant le procédé, on aboutit finalement à f = ḡ + h̄, avec ḡ ∈ I_{0}, h̄ ∈ I, et deg(h̄) < t. D’où :

I = I_{0} + (I ∩ (A ⊕ Ax ⊕ ⋯ ⊕ Ax^{t−1})).

I ∩ (A ⊕ Ax ⊕ ⋯ ⊕ Ax^{t−1}) est de type fini comme sous-module d’un module de type fini sur A noethérien. Donc I est de type fini.

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Corollaire 2.2.5. Par récurrence, on en déduit que si A est un anneau noethérien, alors A[X_{1}, …, X_{n}] est noethérien. Donc si A est une 𝔽-algèbre commutative de type fini, A est un anneau noethérien.

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2.3 Théorème de finitude de Hilbert

Théorème 2.3.1. (Hilbert)Soit G un groupe fini, 𝔽 un corps de caractéristique nulle, V = 𝔽^{n} et G ↪ GL(𝔽^{n}) une représentation de G. Alors 𝔽[V]^{G} est de type fini comme algèbre.

Démonstration : On pose B = 𝔽[V]^{G}, B_{+} = {f ∈ B| deg(f) > 0}, A = 𝔽[V]. Soit I l’idéal engendré par B_{+}, I = B_{+}A. D’après le théorème 2.2.4, A est noethérien, donc I est de type fini. Soient f_{1}, …, f_{d} des éléments de I qui l’engendrent. Les f_{i} sont dans B_{+}A, donc on peut les supposer dans B_{+}, et même homogènes de degrés strictement positifs, quitte à prendre leurs composantes homogènes.

Montrons que les f_{i} engendrent B comme anneau : soit f ∈ B\𝔽[f_{1}, …, f_{d}] homogène de degré minimal. f ∈ I, donc f = ∑_{i} f_{i}a_{i}, a_{i} ∈ A. d^{o}(f) = d^{o}(f_{i}) + d^{o}(a_{i}), ∀i, donc d^{o}(a_{i}) < d^{o}(f). On fait la moyenne sur les éléments du groupe :

f = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} gf = ∑_{i}(f_{i} \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G}(ga_{i})).

Donc f = ∑_{i} f_{i}ã_{i}, où les ã_{i} sont G-invariants, donc dans B. Or d^{o}(ã_{i}) < d^{o}(f), donc les a_{i} sont dans 𝔽[f_{1}, …, f_{d}]. On a alors f ∈ 𝔽[f_{1}, …, f_{d}], absurde.

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Le fait que l’anneau des invariants soit de type fini n’est pas un fait particulier à la caractéristique nulle. Noether a démontré que c’était vrai pour un corps de caractéristique quelconque ; elle a aussi montré que 𝔽[V] est une extension finie entière de 𝔽[V]^{G} : Théorème 2.3.2. (Noether) Soit 𝔽 un corps, G un groupe fini agissant par automorphismes sur une 𝔽-algèbre commutative de type fini A. Alors A^{G} est aussi une 𝔽-algèbre commutative de type fini, et A est de type fini en tant que module sur A^{G}.

Démonstration : Si a ∈ A alors a est racine du polynôme unitaire

∏_{g∈G}(X − g(a)) ∈ A^{G}[X].

A est donc une extension entière de A^{G}; de plus A est de type fini sur A^{G} en tant qu’algèbre, car de type fini sur 𝔽 et 𝔽 ⊂ A^{G}, donc A est de type fini sur A^{G} en tant que module. Soit B la sous-algèbre de A^{G} engendrée par les coefficients des polynômes unitaires introduits plus hauts et satisfaits par un ensemble fini de générateurs de la 𝔽-algèbre A. B est une 𝔽-algèbre de type fini, et B est donc noethérien. Les générateurs de A considérés sont entiers sur B par construction, donc A est entière sur B; étant de type fini sur B comme algèbre, A est un B-module de type fini ; d’où A^{G} aussi car B noethérien. Donc A^{G} est une 𝔽-algèbre de type fini. □ Corollaire 2.3.3. Soit G un groupe fini, 𝔽 un corps et V une représentation de G de dimension finie. Alors 𝔽[V]^{G} est une 𝔽-algèbre de type fini, et 𝔽[V] est une extension finie entière de 𝔽[V]^{G}.

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3 Séries de Poincaré

Soit G → GL(V) une représentation linéaire d’un groupe fini G. On remarque que l’action de G envoie les monômes sur les monômes de même degré ; on peut ainsi décomposer un polynôme invariant en somme de composantes homogènes invariantes. On s’intéresse donc à la dimension de la composante homogène 𝔽[V]_{j}^{G}, constituée des polynômes invariants homogènes de degré j.

3.1 Modules gradués et Séries de Poincaré

Définition 3.1.1. Un espace vectoriel gradué sur 𝔽 est une somme directe d’espaces vectoriels M = ⨁_{i∈ℤ}M_{i}. M_{i} est appelé composante homogène de degré i. Si M_{i} = 0 pour

tout i < 0, M est dit espace vectoriel positivement gradué sur 𝔽. Si dim_{𝔽} M_{i} est finie pour tout i, on dit que M est de type fini. Si M et N sont des espaces vectoriels gradués sur 𝔽, un morphisme d’espaces vectoriels gradués de degré d, f : M → N, est une suite d’applications linéaires {f_{i} : M_{i} → N_{i+d} | i ∈ ℤ}. On définit de même un module gradué M sur un anneau A. Définition 3.1.2. Une algèbre graduée A sur un corps 𝔽 est une 𝔽-algèbre graduée comme 𝔽-espace vectoriel, A = ⨁_{i∈ℤ}A_{i}, telle que pour tout i et j dans ℤ, A_{i} · A_{j} ⊂ A_{i+j}.

Si A est positivement graduée et si l’inclusion de 𝔽 dans A_{0} est un isomorphisme, on dit que A est connexe. Remarque 3.1.3. 𝔽 s’injecte bien dans A_{0} car 1 ∈ A_{0}. En effet, si 1 ∈ A_{i}, 1 = 1 · 1 ∈ A_{2i}, et la somme étant directe, i = 0. Définition 3.1.4. Soit M un espace vectoriel gradué de type fini sur 𝔽. La série de Poincaré de M est la série formelle

P (M, t) = ∑^{∞} ; j=0 dim_{𝔽}(M_{j})t^{j}.

Pour des espaces vectoriels gradués M′, M′′, on définit leur somme directe composante par composante : (M′ ⊕ M′′)_{i} = M′_{i} ⊕ M′′_{i}, et leur produit tensoriel comme l’espace vectoriel gradué de composante de degré n : ⨁_{i+j=n}M′_{i} ⊗ M′′_{j}.

Il est clair que la série de Poincaré d’un espace vectoriel gradué est additive et multiplicative, i.e. pour une suite exacte 0 → M′ → M → M′′ → 0 d’espaces vectoriels gradués de type fini, les morphismes étant de degré 0, on a P (M, t) = P (M′, t)+P (M′′, t), et pour M et M′ positivement gradués et de type fini, on a P (M′ ⊗_{𝔽}M′′, t) = P (M′, t)·P (M′′, t).

3.2 Théorème de Hilbert-Serre

Théorème 3.2.1. (Hilbert, Serre) Soit A une 𝔽-algèbre graduée connexe de type fini, engendrée sur 𝔽 par des éléments homogènes x_{1}, …, x_{s} de degrés strictement positifs k_{1}, …, k_{s}. Soit M un A-module gradué de type fini. Alors la série de Poincaré P (M, t) est de la forme

\frac{f(t)}{∏_{j=1}^{s}(1 − t^{k_{j}})}

où f(t) est un polynôme en t à coefficients entiers.

Démonstration : On démontre le résultat par récurrence sur s. Si s = 0, M est un 𝔽-espace vectoriel de dimension finie, et P (M, t) est un polynôme. Soit s > 0. On suppose le résultat vrai pour tout i < s. Soit λ : M → M la multiplication à gauche par x_{s} ∈ A. On a les suites exactes

0 → ker(λ) → M → M/ker(λ) → 0
0 → Im(λ) → M → coker(λ) → 0,

d’où l’on tire

P (M, t) = P (ker(λ), t) + P (M/ker(λ), t)
P (M, t) = P (Im(λ), t) + P (coker(λ), t).

λ est un morphisme de degré d^{o}(x_{s}), i.e. λ = {λ_{j} : M_{j} → M_{j+d^{o}(x_{s})}}, où l’on note M_{i} la composante homogène de degré i. D’où

(M/ker(λ))_{j} ≃ (Im(λ))_{j+d^{o}(x_{s})},

puis

P (M/ker(λ), t) = t^{−d^{o}(x_{s})}P (Im(λ), t).

En substituant dans les relations précédentes, on trouve

P (M, t) = P (ker(λ), t) + t^{−d^{o}(x_{s})}P (Im(λ), t)
P (M, t) = P (Im(λ), t) + P (M/Im(λ), t).

En multipliant par t^{d^{o}(x_{s})} la première équation et en soustrayant à la deuxième, on obtient

P (M, t) = \frac{−t^{d^{o}(x_{s})}}{1 − t^{d^{o}(x_{s})}} P (ker(λ), t) + \frac{1}{1 − t^{d^{o}(x_{s})}} P (M/Im(λ), t).

A est noethérien d’après le corollaire 2.2.5, donc M est noethérien car de type fini sur A. On en déduit que les modules ker(λ) et M/Im(λ) sont noethériens, donc de type fini sur A. L’action de x_{s} sur ces modules est triviale, ils sont donc de type fini sur la sous-algèbre de A engendrée par x_{1}, …, x_{s−1}. Par hypothèse de récurrence, le membre de droite de l’équation précédente est une fraction rationnelle de la forme voulue.

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Remarque 3.2.2. Pour une algèbre de polynômes sur 𝔽 engendrée par des éléments x_{1}, …, x_{n} de degrés d_{1}, …, d_{n} la série de Poincaré est donnée par

P (A, t) = ∏^{n} ; i=1 \frac{1}{1 − t^{d_{i}}} .

3.3 Étude du pôle en t = 1

L’ordre du pôle de P (M, t) en t = 1 peut être mis en relation avec le taux de croissance de la dimension des composantes homogènes. C’est ce que traduit la proposition suivante Proposition 3.3.1. Soit P (t) = \frac{f(t)}{∏_{j=1}^{s}(1−t^{k_{j}})} = ∑_{r≥0}a_{r}t^{r}, où f(t) est un polynôme à coef-

ficients entiers et les a_{i} sont des entiers positifs ou nuls. Soit d(M) l’ordre du pôle de P (t) en t = 1. Alors

(i)il existe une constante κ > 0 telle que a_{n} ≤ κ · n^{d(M)−1} pour tout n > 0, mais

(ii)il n’existe aucune constante κ > 0 telle que a_{n} ≤ κ · n^{d(M)−2} pour tout n > 0.

Démonstration : Le problème est inchangé si l’on remplace \frac{1}{(1−t^{k_{j}})} par \frac{1}{(1−t^{k_{j}})} · (1 + t + ⋯ + t^{k_{j}−1}). On peut donc supposer que chaque k_{j} = 1, et alors

P (t) = f(t)/(1 − t)^{d(M)}, avec f(1) ≠ 0. On pose f(t) = α_{m}t^{m} + ⋯ + α_{0}. On a

a_{n} = α_{0}\binom{n + d(M) − 1}{d(M) − 1} + α_{1}\binom{n + d(M) − 2}{d(M) − 1} + ⋯ + α_{m}\binom{n + d(M) − m − 1}{d(M) − 1}.

f(1) ≠ 0 implique que α_{0} +⋯+α_{m} ≠ 0, donc cette expression est un polynôme de degré exactement d(M) − 1 en n.

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On note d(M) l’ordre du pôle en t = 1 de P (M, t). Lemme 3.3.2. Soit A ⊇ B une extension finie (en tant que B-module) d’algèbres graduées, A et B étant des algèbres de type fini sur 𝔽 engendrées par des éléments homogènes de degrés strictement positifs. Alors d(A) = d(B).

Démonstration : A est un B-module de type fini, donc est un quotient d’un B-module libre de type fini M. Soit x_{1}, …, x_{n} une base de M sur B, de degrés α_{1}, …, α_{n}. M = Bx_{1} ⊕ ⋯ ⊕ Bx_{n}, d’où

P (M, t) = ∑_{i}(t^{α_{i}}P (B, t)) = (∑_{i}t^{α_{i}})P (B, t).

Donc P (M, t) = f(t)P (B, t) pour un certain polynôme f(t) avec f(1) > 0. On a ainsi, coefficient par coefficient, P (B, t) ≤ P (A, t) ≤ f(t)P (B, t), ce qui prouve le lemme.

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Proposition 3.3.3. d(𝔽[V]^{G}) = dim_{𝔽}(V).

Démonstration : 𝔽[V] est une extension finie de 𝔽[V]^{G}, donc d’après le lemme 3.3.2, il suffit de regarder le pôle en t = 1 de P (𝔽[V], t) = 1/(1 − t)^{n}, où n = dim_{𝔽}(V).

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3.4 Théorème de Molien

On se donne ρ : G ↪ GL_{n}(𝔽) une représentation d’un groupe fini G.

On appelle transfert l’application T r^{G} : 𝔽[V] → 𝔽[V]^{G} définie par

T r^{G}(f)(x) = ∑_{g∈G}g(f)(x) = ∑_{g∈G}f(g^{−1}(x)).

Pour g′ ∈ G, on a

g′ · T r^{G}(f) = ∑_{g′′∈G}g′g′′(f) = ∑_{g′g′′∈G}g′g′′(f) = T r^{G}(f).

Donc on a bien T r^{G}(f) ∈ 𝔽[V]^{G}.

On remarque que la composée

𝔽[V]^{G} ↪ 𝔽[V] ⟶^{T r^{G}} 𝔽[V]^{G}

est la multiplication par |G|; on suppose que 𝔽 est de caractéristique nulle, et on note π^{G} = \frac{1}{|G|}T r^{G} : 𝔽[V] → 𝔽[V]^{G} ↪ 𝔽[V]. π^{G} est l’identité sur 𝔽[V]^{G}, et est donc une projection d’image 𝔽[V]^{G}. On a ainsi : 𝔽[V] = 𝔽[V]^{G} ⊕ ker(π^{G}).

La dimension de 𝔽[V]_{j}^{G} est donc égale à la trace de la matrice de π^{G} sur 𝔽[V]_{j}, d’où

P (𝔽[V]^{G}, t) = \frac{1}{|G|}∑_{g∈G} ∞ ; ∑_{j=0}tr(g, 𝔽[V]_{j})t^{j}.

La proposition suivante va nous permettre de simplifier cette dernière égalité. Proposition 3.4.1. Soit 𝔽 un corps de caractéristique nulle, ρ : G ↪ GL_{n}(𝔽) une représentation d’un groupe fini G. Si g ∈ G, alors la trace de l’action de g sur 𝔽[V] est

donnée par ∑^{∞} ; j=0tr(g, 𝔽[V]_{j})t^{j} = \frac{1}{det(1−g^{−1}t)}.

Démonstration : Étendre le corps ne change aucun des deux membres de l’égalité, donc on peut supposer 𝔽 algèbriquement clos. g ∈ G groupe fini, donc g annule le polynôme X^{|G|} − 1, scindé à racines simples car 𝔽 est de caractéristique nulle. g est donc diagonalisable, soient λ_{1}, …, λ_{n} ses valeurs propres. Les valeurs propres sur V^{∗} sont λ_{1}^{−1}, …, λ_{n}^{−1}, donc les valeurs propres sur 𝔽[V]_{j} sont les produits de j λ_{i}^{−1} non nécessairement distincts. On a ainsi en calculant dans une base où g est diagonale

∑^{∞} ; j=0tr(g, 𝔽[V]_{j})t^{j} = (∑^{∞} ; j=0λ_{1}^{−j}t^{j}) ⋯ (∑^{∞} ; j=0λ_{n}^{−j}t^{j}) = ∏^{n} ; i=1 \frac{1}{1 − λ_{i}^{−1}t} = \frac{1}{det(1 − g^{−1}t)},

ce qui prouve la proposition.

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On en déduit le théorème Théorème 3.4.2. (Molien) Soit ρ : G ↪ GL_{n}(𝔽) une représentation d’un groupe fini G sur un corps 𝔽 de caractéristique nulle. Alors la série de Poincaré de l’anneau des invariants est donnée par

P (𝔽[V]^{G}, t) = \frac{1}{|G|}∑_{g∈G} \frac{1}{det(1 − g^{−1}t)}.

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3.5 Séries de Poincaré et pseudo-réflexions

Définition 3.5.1. Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps 𝔽. On dit qu’un automorphisme s : V → V est une pseudo-réflexion si s ≠ 1, l’ordre de s est fini, et s est l’identité sur un hyperplan H_{s} fixe, appelé hyperplan de s. 𝔽 étant de caractéristique nulle, s est diagonalisable car d’ordre fini. Soit λ_{s} la valeur propre de s différente de 1, appelée racine de s. λ_{s} est une racine de l’unité dans 𝔽. Si λ_{s} = −1, on dit que s est une réflexion réelle, ou plus simplement une réflexion.

Soit s une pseudo-réflexion d’hyperplan H_{s}. Im(1 − s) = vect(x_{s}) est la droite propre de s associée à λ_{s}. Donc on peut écrire s(v) = v + l_{s}(v)x_{s}, ∀v ∈ V, où l_{s} : V → 𝔽 est une forme linéaire de noyau H_{s}. Pour f ∈ 𝔽[V] et u ∈ H_{s}, on a

(sf − f)(u) = f(s^{−1}(u)) − f(u) = f(u) − f(u) = 0,

d’où l_{s} divise sf − f ∈ 𝔽[V]. Définition 3.5.2. On appelle dérivation twistée ou Δ-opérateur associé à s, et on note Δ_{s}, l’application qui à f ∈ 𝔽[V] associe le quotient de sf − f par l_{s} dans 𝔽[V] :

sf − f = Δ_{s}(f)l_{s}.

Δ_{s}(f) ∈ 𝔽[V] est de degré d^{o}(f) − 1. Lemme 3.5.3. Soit s ∈ GL_{n}(𝔽) une pseudo-réflexion, S le sous-groupe de GL_{n}(𝔽) engendré par s, f ∈ 𝔽[V]. Alors f ∈ 𝔽[V]^{S} si et seulement si Δ_{s}(f) = 0.

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Ainsi, si ρ : G ↪ GL_{n}(𝔽) est une représentation telle que ρ(G) est engendré par des pseudo-réflexions, alors f ∈ 𝔽[V]^{G} si et seulement si Δ_{s}(f) = 0 pour tout s ∈ ρ(G) pseudo-réflexion.

De plus, Δ_{s} est 𝔽[V]^{G}-linéaire.

D’après le théorème de Molien, on a

P (𝔽[V]^{G}, t) = \frac{1}{|G|} \{\frac{1}{det(1 − t)} + ∑_{g≠1∈G} \frac{1}{det(1 − g^{−1}t)}\} .

Les g ≠ 1 ∈ G ne peuvent avoir 1 comme valeur propre d’ordre n, donc

Q(t) = ∑_{g≠1∈G} \frac{1}{det(1 − g^{−1}t)}

a un pôle en t = 1 d’ordre au plus n − 1. Ainsi, la valeur en t = 1 de la fonction (1 − t)^{n}P (𝔽[V]^{G}, t) est 1/|G|.

En introduisant les pseudo-réflexions de G, on peut obtenir plus d’informations sur le développement de Laurent de P (𝔽[V]^{G}, t) : les éléments de G qui contribuent au pôle d’ordre n − 1 de Q(t) sont ceux tels que dim_{𝔽}(V^{g}) = n − 1, c’est à dire exactement les pseudo-réflexions de G. Soit s(G) l’ensemble des pseudo-réflexions de G. Pour g ∈ s(G), on a

\frac{(1 − t)^{n−1}}{det(1 − g^{−1}t)} = \frac{1}{1 − λ^{−1}t}.

On remarque que si g est une pseudo-réflexion, g^{−1} aussi, et g = g^{−1} exactement quand g est une réflexion réelle. L’égalité \frac{1}{1−λ^{−1}} + \frac{1}{1−λ} = 1 montre que si l’on regroupe chaque pseudo-réflexion non réelle avec son inverse, la contribution au pôle d’ordre n − 1 des pseudo-réflexions non réelles est exactement la moitié de leur nombre ; les réflexions réelles ayant leur λ égal à −1, elles contribuent aussi pour la moitié de leur nombre. On a ainsi démontré le résultat suivant : Proposition 3.5.4. Soient 𝔽 un corps de caractéristique nulle et ρ : G ↪ GL_{n}(𝔽) une représentation injective de G sur V = 𝔽^{n}, alors le développement de Laurent de la série de Poincaré P (𝔽[V]^{G}, t) a pour premiers termes :

P (𝔽[V]^{G}, t) = \frac{\frac{1}{|G|}}{(1 − t)^{n}} + \frac{\frac{|s(G)|}{2·|G|}}{(1 − t)^{n−1}} + ⋯,

où |s(G)| est le nombre de pseudo-réflexions de G dans la représentation ρ.

□

On a aussi le résultat suivant reliant les degrés des générateurs à des informations sur le groupe :

Proposition 3.5.5. Soit ρ : G → GL_{n}(𝔽) une représentation d’un groupe fini G sur un corps 𝔽 de caractéristique nulle. On suppose qu’il existe

f_{1}, …, f_{n} ∈ 𝔽[V]^{G}, deg(f_{i}) = d_{i}, ∀i = 1, …, n,

tels que

(i)∏^{n} ; i=1d_{i} = |G|,

(ii)f_{1}, …, f_{n} sont algébriquement indépendants.

Alors

|s(G)| ≥ ∑^{n} ; i=1(d_{i} − 1).

Démonstration : Les f_{i} étant algébriquement indépendants, d’après la remarque 3.2.2,

P (𝔽[f_{1}, …, f_{n}], t) = \frac{1}{∏^{n} ; i=1(1 − t^{d_{i}})} .

De (1 − t^{d_{i}}) = (1 − t) ∑^{d_{i}−1} ; i=0t^{j}, on déduit que

(1 − t)^{n}P (𝔽[f_{1}, …, f_{n}], t) ⟶_{t→1} \frac{1}{d_{1} ⋯ d_{n}} .

En vue de calculer le pôle d’ordre n − 1, on pose P_{i}(t) = ∑^{d_{i}−1} ; i=0t^{j}. On a

(1 − t)^{n−1}(P (𝔽[f_{1}, …, f_{n}], t) − \frac{\frac{1}{d_{1}···d_{n}}}{(1 − t)^{n}}) = \frac{1}{1 − t} (\frac{1}{∏^{n} ; i=1P_{i}(t)} − \frac{1}{d_{1} ⋯ d_{n}} ) .

Or P_{1} ⋯ P_{n}(1) = d_{1} ⋯ d_{n}, d’où

\frac{1}{(d_{1} ⋯ d_{n})∏^{n} ; i=1P_{i}(t)} · (\frac{d_{1} ⋯ d_{n} − ∏^{n} ; i=1P_{i}(t)}{1 − t}) ⟶_{t→1} \frac{(P_{1} ⋯ P_{n})′(1)}{(d_{1} ⋯ d_{n})^{2}}.

(P_{1} ⋯ P_{n})′(1) = ∑^{n} ; i=1P′_{i}·P_{1} ⋯ P̂_{i} ⋯ P_{n}(1) = ∑^{n} ; i=1 \frac{d_{i}(d_{i}−1)}{2}d_{1} ⋯ d̂_{i} ⋯ d_{n} = (d_{1} ⋯ d_{n})^{\frac{∑_{i=1}^{n} d_{i}−1}{2}}.

On a ainsi montré que

P (𝔽[f_{1}, …, f_{n}], t) = \frac{\frac{1}{d_{1}···d_{n}}}{(1 − t)^{n}} + \frac{\frac{∑_{i=1}^{n}(d_{i}−1)}{2·d_{1}···d_{n}}}{(1 − t)^{n−1}} + · · · .

D’après la proposition 3.5.4 et l’hypothèse (i), P (𝔽[f_{1}, …, f_{n}], t) et P (𝔽[V]^{G}, t) ont un pôle d’ordre n en t = 1, et

lim_{t→1}(1 − t)^{n}P (𝔽[V]^{G}, t) = \frac{1}{|G|} = \frac{1}{d_{1} ⋯ d_{n}} = lim_{t→1}(1 − t)^{n}P (𝔽[f_{1}, …, f_{n}], t).

La différence Δ(t) = P (𝔽[V]^{G}, t) − P (𝔽[f_{1}, …, f_{n}], t) a donc un pôle d’ordre n − 1 en t = 1. Puisque 𝔽[f_{1}, …, f_{n}] ⊆ 𝔽[V]^{G}, on a, coefficient par coefficient,

P (𝔽[V]^{G}, t) ≥ P (𝔽[f_{1}, …, f_{n}], t).

Ainsi Δ(t) est une série à coefficients entiers positifs ou nuls, et prend par conséquent des valeurs positives pour t réel positif. Il en est de même pour (1 − t)^{n−1}Δ(t) si 0 ≤ t ≤ 1. On en déduit

0 ≤ lim_{t→1}[(1 − t)^{n−1}Δ(t)] = \frac{|s(G)|}{2|G|} − \frac{∑^{n} ; i=1(d_{i} − 1)}{2 · d_{1} ⋯ d_{n}} = \frac{1}{2|G|} (|s(G)| − ∑^{n} ; i=1(d_{i} − 1)) .

□

La proposition 3.5.4 donne aussi des informations importantes dans le cas d’une représentation injective pour laquelle l’anneau des invariants 𝔽[V]^{G} est une algèbre de polynômes : Proposition 3.5.6. Soit 𝔽 un corps de caractéristique nulle, G ↪ GL_{n}(𝔽) une représentation injective d’un groupe fini G. Si 𝔽[V]^{G} ≃ 𝔽[f_{1}, …, f_{n}], deg(f_{i}) = d_{i}, i = 1, …, n, alors

|G| = d_{1} ⋯ d_{n},

|s(G)| = ∑^{n} ; i=1(d_{i} − 1),

où |s(G)| est le nombre de pseudo-réflexions dans G.

Démonstration : On réutilise le calcul fait lors de la démonstration de la précédente proposition :

P (𝔽[V]^{G}, t) = P (𝔽[f_{1}, …, f_{n}], t) = \frac{\frac{1}{d_{1}···d_{n}}}{(1 − t)^{n}} + \frac{\frac{∑_{i=1}^{n}(d_{i}−1)}{2·d_{1}···d_{n}}}{(1 − t)^{n−1}} + · · · .

En identifiant les coefficients de cette expression avec celle donnée par la proposition

3.5.4 , on obtient |G| = d_{1} ⋯ d_{n}, puis |s(G)| = ∑^{n} ; i=1(d_{i} − 1).

□

4 Homologie et algèbres graduées

4.1 Notions d’homologie algébrique

Dans cette section, on introduit quelques outils d’homologie algébrique. La présentation est trés largement inspirée de [Mat], Appendix B, auquel on se réfèrera pour plus de détails.

4.1.1 Modules projectifs

Définition 4.1.1. Soit A un anneau commutatif et P un A-module. On dit que P est projectif s’il vérifie les trois propositions équivalentes :

(i) Pour tout morphisme surjectif de A-modules f : M ↠ N et pour tout morphisme g : P → N, il existe un morphisme h : P → M tel que le diagramme suivant soit commutatif :

\xymatrix{M \ar[r]^{f} & N \\ P \ar[u]^{h} \ar[ur]^{g}}

(ii) Le foncteur Hom_{A}(P, −) est exact, i.e. pour toute suite exacte de A-modules

0 → L → M → N → 0

la suite

0 → Hom_{A}(P, L) → Hom_{A}(P, M) → Hom_{A}(P, N) → 0

est aussi exacte. (iii) Il existe un A-module libre F et un A-module M tel que P ⊕ M = F. Soit A un anneau commutatif et M un A-module. Alors il existe K_{0} un A-module

et P_{0} un A-module projectif tels que la suite 0 → K_{0} → P_{0} → M → 0 soit exacte. De même, on peut construire des A-modules K_{i} et des A-modules projectifs P_{i} tels que les suites 0 → K_{i} → P_{i} → K_{i−1} → 0 soient exactes. On alors une suite exacte

⋯ → P_{i} → ⋯ → P_{1} → P_{0} → M → 0.

Définition 4.1.2. Une telle suite est appelée une résolution projective de M. Définition 4.1.3. Soit A un anneau commutatif et M un A-module.

– On appelle dimension projective de M, prdimM, la longueur minimale d’une résolution de M :

0 → P_{n} → ⋯ → P_{i} → ⋯ → P_{1} → P_{0} → M → 0.

– On appelle dimension globale de A, gldim(A) = sup_{M∈Mod(A)}(prdim(M)).

4.1.2 Foncteur de torsion

Soient M et N deux A-modules, P_{∗} une résolution de M. On note

P_{∗} ⊗ N : ⋯ → P_{i} ⊗ N → ⋯ → P_{1} ⊗ N → P_{0} ⊗ N → M ⊗ N → 0.

On a alors l’homologie H_{n}(P_{∗} ⊗ N) = \frac{ker(P_{n}⊗N→P_{n−1}⊗N)}{Im(P_{n+1}⊗N→P_{n}⊗N)}.

Définition 4.1.4. T or_{n}^{A}(M, N) = H_{n}(P_{∗} ⊗ N).

T or_{n}^{A}(M, N) est bien définie malgré la non unicité de P_{∗}. Proposition 4.1.5. Soit A un anneau commutatif et M un A-module.

– si M est plat (i.e. le foncteur M ⊗ − est exact), alors ∀n > 0, T or_{n}^{A}(M, N) = 0.

– T or^{A}(M, N) = T or^{A}(N, M).

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4.1.3 Foncteur Ext

Soient M et N deux A-modules, P_{∗} une résolution de M. On note Hom(P_{∗}, N) :

0 → Hom(M, N) → Hom(P_{0}, N) → Hom(P_{1}, N) → ⋯ → Hom(P_{i}, N) → · · · .

On a alors l’homologie H_{n}(Hom(P_{∗}, N)). Définition 4.1.6. Ext_{n}^{A}(M, N) = H_{n}(Hom(P_{∗}, N)).

Ext_{n}^{A}(M, N) est bien définie malgré la non unicité de P_{∗}.

4.2 Lemme de Nakayama

Définition 4.2.1. Soit A une 𝔽-algèbre graduée connexe. On définit son idéal d’augmentation par Ā = {a ∈ A, val(a) > 0}. C’est d’ailleurs l’unique idéal gradué maximal de A. Définition 4.2.2. Soit A une 𝔽-algèbre graduée connexe et M un A-module gradué. On definit QM = M/(ĀM) le module des éléments indécomposables de M.

Si A est une 𝔽-algèbre graduée connexe, alors A/Ā ≃ 𝔽. Ainsi, si M est un A-module gradué, QM = M/(ĀM) ≃ 𝔽 ⊗_{A} M. Proposition 4.2.3 (lemme de Nakayama). Soit A une 𝔽-algèbre graduée connexe et M un A-module gradué positif. Alors M = 0 si et seulement si QM = 0.

Démonstration : Si M = 0, alors QM = 0. Réciproquement, supposons QM = 0. Montrons par récurrence sur s ≥ 0 que ∀i < s, M_{i} = 0.

C’est vrai pour s = 0. Pour s ≥ 0, soit x ∈ M_{s}, comme QM = 0, i.e. M = ĀM, on a x = ∑ a_{i}x_{i} avec a_{i} ∈ A et x_{i} ∈ M homogènes où d^{o}(a_{i}) > 0 et, par hypothèse de récurrence, d^{o}(x_{i}) ≥ s. D’où x ∈ M_{s} ∩ ⨁_{j>s} M_{j} = 0, et x = 0.

□

Corollaire 4.2.4. Soit A une 𝔽-algèbre graduée connexe, M et M′ des A-modules positivement gradués et f : M → M′. Alors f est surjective si et seulement si Qf : QM → QM′ est surjective.

Démonstration : La suite M → M′ → coker(f) → 0 est exacte. Donc, par application du foncteur 𝔽 ⊗_{A} −, la suite QM → QM′ → Qcoker(f) → 0 est aussi exacte. D’après le lemme de Nakayama, Qcoker(f) = 0 ⟺ coker(f) = 0.

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4.3 Modules plats, modules projectifs et modules libres

Proposition 4.3.1. Soit A une algèbre commutative graduée connexe sur un corps 𝔽 et M un A-module gradué positif. Les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) M est un A-module libre.

(ii) M est un A-module projectif.

(iii) M est un A-module plat.

(iv) T or_{1}^{A}(𝔽, M) = 0.

Démonstration : (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) est vrai dans le cadre des anneaux commutatifs. Montrons donc (iv) ⇒ (i). Soit q : M ⟶ QM la projection canonique et σ : QM ⟶ M une section de 𝔽-espaces vectoriels gradués. Soit ϕ : A ⊗_{𝔽} QM ⟶ M, le morphisme de A-modules défini par ϕ(a ⊗ v) = a · σ(v). Alors Q(A ⊗_{𝔽} QM) ≃ QM par Qϕ. En effet, Qϕ(\overline{1 ⊗ v}) = q ∘ σ(v) = v, donc Qϕ est surjective et si

ϕ(∑ a ⊗ v) = ∑ aσ(v) ∈ ĀM

alors

q ∘ ϕ(∑ a ⊗ v) = 0 = ∑ q(aσ(v)) = ∑_{a∈𝔽}av

et

\overline{∑ a ⊗ v} = ∑_{a∈𝔽} \overline{a ⊗ v} = \overline{∑_{a∈𝔽}1 ⊗ av} = \overline{1 ⊗ ∑_{a∈𝔽}av} = 0

et Qϕ est injective.

D’après le corollaire du lemme de Nakayama ϕ est surjective et on a une suite exacte :

0 → K → A ⊗_{𝔽} QM → M → 0

que l’on peut prolonger en une résolution projective de QM :

\xymatrix{⋯ \ar[r] & P_{2} \ar[r] & P_{1} \ar[rr] \ar[dr] &  & A ⊗_{𝔽} QM \ar[r] & QM \ar[r] & 0 \\  &  &  & K \ar[ur] \ar[dr] \\  &  & 0 \ar@{-->}[ur] &  & 0}

En appliquant le foncteur 𝔽 ⊗_{A} − et comme T or_{1}^{A}(𝔽, M) = 0, on voit aisément que la suite

0 → QK → Q(A ⊗_{𝔽} QM) → QM → 0

est aussi exacte et QK = 0 i.e. K = 0 par le lemme de Nakayama.

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5 Algèbres graduées et dimension globale

5.1 Complexe de Koszul

Définition 5.1.1. Soit A une 𝔽-algèbre commutative et a_{1}, …, a_{n} ∈ A. On définit le complexe de Koszul de A par rapport aux a_{i} comme l’algèbre commutative graduée différentielle

K = K(a_{1}, …, a_{n}) = A ⊗_{𝔽} Λ(⊕_{i=1}^{n}𝔽ã_{i})

où Λ(⊕_{i=1}^{n}𝔽ã_{i}) est l’algèbre extérieure de ⊕_{i=1}^{n}𝔽ã_{i} et où la différentielle d est définie par :

d(ã_{i}) = a_{i}
d(x ∧ y) = d(x) ∧ y + (−1)^{deg(x)}x ∧ d(y).

Définition 5.1.2. Soit A un anneau commutatif et a_{1}, …, a_{n} ∈ A. La suite a_{1}, …, a_{n} est dite régulière si a_{1} est régulier ( i.e. la multiplication par a_{1} est injective) et si les a_{i} sont réguliers dans A/(a_{1}, …, a_{i−1}). Théorème 5.1.3. Soit A une 𝔽-algèbre commutative graduée connexe et a_{1}, …, a_{n} ∈ A. Le complexe de Koszul K(a_{1}, …, a_{n}) est acyclique si et seulement si la suite (a_{1}, …, a_{n}) est régulière.

Démonstration : Notons K(i) = K(a_{1}, …, a_{i}) et K(0) = A. On a la suite exacte de complexes

0 → K(i − 1) ↪ K(i) → K(i − 1) → 0

où la dernière flèche diminue le degré de un. On a alors la suite exacte longue

⋯ → H_{j}(K(i − 1)) → H_{j}(K(i)) → H_{j−1}(K(i − 1)) → H_{j−1}(K(i − 1)) → · · · .

Il suffit donc de montrer que les H_{1}(K(i)) sont nuls si et seulement si la suite (a_{i}) est régulière. Supposons donc la suite régulière. On a H_{1}(K(1)) = 0. Soient j ≤ n et ∑_{i≤j} α_{i}ã_{i} de différentielle nulle. Si α_{j} = 0, alors, par récurrence, ∑ α_{i}ã_{i} ∈ Im(d). Sinon, α_{j}a_{j} ∈ (a_{1}, …, a_{j−1}) i.e. α_{j} ∈ (a_{1}, …, a_{j−1}) et α_{j} = ∑_{i<j} β_{i}a_{i}. Or d(∑_{i<j} β_{i}ã_{i} ∧ ã_{j}) = α_{j}ã_{j} + ∑_{i<j} γ_{i}ã_{i} et par récurrence ∑ γ_{i}ã_{i} ∈ Im(d) i.e. H_{1}(K(i)) = 0. Réciproquement, si les H_{1}(K(i)) sont nuls, alors

∑_{i<j} −α_{i}a_{i} = α_{j}a_{j} ⇒ ∑ α_{i}ã_{i} ∈ Im(d) ⇒ α_{j} ∈ (a_{1}, …, a_{j−1})

i.e. la suite est régulière.

□

Corollaire 5.1.4 (Théorème de Koszul). Soit A une 𝔽-algèbre commutative graduée connexe et a_{1}, …, a_{n} ∈ A une suite régulière. Alors K(a_{1}, …, a_{n}) est une résolution de A/(a_{1}, …, a_{n}) comme A-module.

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5.2 Théorème de Hilbert des syzygies

Théorème 5.2.1 (Théorème de Hilbert des syzygies). Soit M un module sur l’algèbre de polynômes 𝔽[z_{1}, …, z_{n}]. Alors la dimension projective de M est au plus n.

Démonstration : Notons A = 𝔽[z_{1}, …, z_{n}]. Soit M un A-module et N = A ⊗_{𝔽} M que l’on munit d’une structure de A-module par :

z_{i} · (a ⊗ m) = (z_{i}a) ⊗ m + a ⊗ (z_{i}m).

Alors N est un A-module libre car si (m_{i})_{i∈I} est une base de M comme 𝔽-espace vectoriel, alors (1 ⊗ m_{i})_{i∈I} est une base de N comme A-module.

Le complexe de Koszul

K = Λ(⊕_{i=1}^{n}𝔽z̃_{i}) ⊗_{𝔽} N
∂(z̃_{i_{1}} ∧ … ∧ z̃_{i_{k}} ⊗ m) = ∑(−1)^{j}z̃_{i_{1}} ∧ … ∧ ˆ z̃_{i_{j}} ∧ … ∧ z̃_{i_{k}} ⊗ z_{i_{j}}m

fournit alors une résolution libre de M comme A-module.

□

Proposition 5.2.2. Soit A une 𝔽-algèbre commutative graduée connexe, M un A-module et n ∈ ℕ. Alors les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

(i) prdimM ≤ n.

(ii) Ext_{A}^{n+1}(M, −) = 0.

(iii) Ext_{A}^{n}(M, −) est exact à droite.

(iv) Pour toute suite exacte

0 → K_{n} → P_{n−1} → ⋯ → P_{0} → M → 0

où les P_{i} sont projectifs, alors K_{n} est projectif. Démonstration : Les implications (iv) ⇒ (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) sont claires. Supposons

(iii) et montrons que Hom(K_{n}, −) est exact. Soit

0 → N′ → N → N′′ → 0

une suite exacte de A-modules.

On peut décomposer la longue suite exacte (iv) en suites exactes courtes :

\xymatrix{ &  &  & 0 \ar[dr] &  & 0 &  &  & 0 \ar[dr] &  & 0 \\  &  &  &  & K_{n−1} \ar@{-->}[dr] \ar@{-->}[ur] &  &  & ⋯ &  & K_{1} \ar@{-->}[ur] \ar[dr] \\ 0 \ar[r] & K_{n} \ar[rr] \ar@{-->}[dr]_{≃} &  & P_{n−1} \ar[rr] \ar@{-->}[ur] &  & P_{n−2} \ar[rr] \ar@{-->}[dr] &  & _{· · · · · ·} \ar[r] & P_{1} \ar[rr] \ar@{-->}[ur] &  & P_{0} \ar[r] & M \ar[r] & 0 \\  &  & K_{n} \ar@{-->}[ur] \ar@{-->}[dr] &  &  &  & K_{n−2} \ar@{-->}[dr] \\  & 0 \ar[ur] &  & 0 &  & 0 \ar[ur] &  & 0}

De plus, la suite

Hom_{A}(P_{n−1}, N) → Hom_{A}(K_{n}, N) → Ext_{A}^{n}(M, N) → 0 (∗)

est exacte. En effet, on a :

Ext_{A}^{n}(M, N) = \frac{ker Hom_{A}(P_{n}, N) → Hom_{A}(P_{n+1}, N)}{Im(Hom_{A}(P_{n−1}, N) → Hom_{A}(P_{n}, N))}.

Soit f : P_{n} → N telle que

\xymatrix{P_{n+1} \ar[r] \ar[dr]_{0} & P_{n} \ar[d]_{f} \\  & N}

alors K_{n+1} ⊂ ker f et on peut factoriser f :

[figure: \frac{P_{n}}{K_{n+1}}; ≃; f̃; K_{n}; N]

D’où Hom(K_{n}, N) ↠ Ext_{A}^{n}(M, N).

Soit f : K_{n} → N telle qu’il existe g : P_{n−1} → N factorisant f̃: P_{n} → K_{n} →^{f} N :

\xymatrix{P_{n} \ar[dd]_{f̃} \ar[rr] \ar[dr] &  & P_{n−1} \ar[ddll]^{g} \\  & K_{n} \ar[ur] \ar[dl]_{f} \\ N}

Alors g factorise aussi f et la suite (∗) est exacte.

On a alors le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{Hom_{A}(P_{n−1}, N) \ar[r] \ar@{->>}[d] & Hom_{A}(K_{n}, N) \ar[r] \ar[d] & Ext_{A}^{n}(M, N) \ar[r] \ar@{->>}[d] & 0 \\ Hom_{A}(P_{n−1}, N′′) \ar[r] & Hom_{A}(K_{n}, N′′) \ar[r] & Ext_{A}^{n}(M, N′′) \ar[r] & 0}

Les première et troisième flèches verticales sont surjectives car P_{n−1} est projectif et Ext_{A}^{n}(M, −) est exact à droite ; on voit alors aisement que la flèche du milieu est surjective.

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5.3 Théorème de Serre

Théorème 5.3.1 (Théorème de Serre). Soit A une algèbre commutative graduée connexe sur un corps 𝔽. Alors si gldim A = d < ∞, on a A ≃ 𝔽[z_{1}, …, z_{d}].

Démonstration : voir [Smi] 6.4.3.

□

Corollaire 5.3.2. Soit A ⊂ 𝔽[z_{1}, …, z_{d}] une sous-algèbre graduée de l’algèbre graduée polynomiale 𝔽[z_{1}, …, z_{d}]. Si 𝔽[z_{1}, …, z_{d}] est un A-module libre, alors A = 𝔽[f_{1}, …, f_{k}].

Démonstration : D’après le théorème de Serre, il suffit de montrer que gldim A < ∞. Notons S = 𝔽[z_{1}, …, z_{d}]. Soit M un A-module et

0 → K_{n} → P_{n−1} → … → P_{0} → M → 0

une résolution projective partielle de M, i.e. les P_{i} sont projectifs. Comme S est un Amodule libre, le foncteur −⊗_{A}S est exact et envoie les modules projectifs sur les modules projectifs. Ainsi la suite

0 → K_{n} ⊗_{A} S → P_{n−1} ⊗_{A} S → … → P_{0} ⊗_{A} S → M ⊗_{A} S → 0

est exacte et les P_{i}⊗_{A}S sont projectifs. D’après 5.2.2, K_{n}⊗_{A}S est un S-module projectif, car d’après le théorème de Hilbert des syzygies, gldim S ≤ n. De plus, S est un A-module libre, donc K_{n} ⊗_{A} S est un A-module projectif, et S = A⊕_{A} L d’où K_{n} = K_{n} ⊗_{A} A est un facteur direct du A-module projectif K_{n} ⊗_{A} S. On en conclut que K_{n} est un A-module projectif.

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6 Théorème de Shephard-Todd

6.1 Choix de polynômes homogènes

Lemme 6.1.1. Soit 𝔽 un corps de caractéristique nulle, A une 𝔽-algèbre graduée. On suppose que A est isomorphe à une algèbre de polynômes. Alors il existe g_{1}, …, g_{n} polynômes homogènes générateurs de A, algébriquement indépendants.

Démonstration : Soient f_{1}, …, f_{n} algébriquement indépendants engendrant A : A = 𝔽[f_{1}, …, f_{n}]. On peut supposer val(f_{i}) = n_{i} > 0 ∀i, car les constantes sont dans le corps. A = ⨁_{m≥0}A_{m}. Soit Ā = ⨁_{m>0}A_{m} = (f_{1}, …, f_{n}) l’idéal d’augmentation de A. Ā et ĀĀ

sont gradués. Comme on le voit composante homogène par composante homogène, ĀĀ admet un supplémentaire gradué dans Ā, de dimension dim_{𝔽}(Ā_{/ĀĀ}) = n. Soit g_{1}, …, g_{n} une base graduée d’un supplémentaire V de ĀĀ dans Ā, i.e. une base constituée de polynômes homogènes (on peut par exemple l’extraire de la famille des composantes homogènes d’une base quelconque).

Montrons que A est engendrée par V : Ā = V ⊕ ĀĀ; or

ĀĀ ⊃ V V + ĀĀĀ,
ĀĀ ⊂ ĀV + ĀĀĀ ⊂ (V + ĀĀ)V + ĀĀĀ = V V + ĀĀĀ,

d’où

ĀĀ = V V + ĀĀĀ.

Ainsi

Ā = V + V^{2} + V^{3} + ⋯ + V^{n} + (Ā)^{n+1}

par récurrence.

Si un polynôme est de degré m > 0, il est dans V + V^{2} + V^{3} + ⋯ + V^{m}, car A_{m} = V_{m} + (V^{2})_{m} + ⋯ + (V^{m})_{m} + ((Ā)^{m+1})_{m}, et ((Ā)^{m+1})_{m} = 0. Donc A est engendré par V.

De même que pour k = 2, dim_{𝔽}(Ā_{/(Ā)^{k}}) est le nombre de monômes unitaires en n variables parmi les f_{i} de degré entre 1 et k − 1. Or les monômes en n variables parmi

les g_{i} engendrent aussi Ā_{/(Ā)^{k}}. A = 𝔽[g_{1}, …, g_{n}], Ā = (g_{1}, …, g_{n}) = ∑^{n} ; i=1g_{i}A; de même

(Ā)^{2} = ∑_{i,j}g_{i}g_{j}A, et ainsi de suite. Il y a le même nombre de monômes que la dimension

de Ā_{/(Ā)^{k}}, et ils engendrent, donc ils sont libres, et ce pour tout k, ce qui équivaut au fait que les g_{i} sont algébriquement indépendants.

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6.2 Théorème de Shephard-Todd

Théorème 6.2.1. (Shephard-Todd, Chevalley) Soit 𝔽 un corps de caractéristique nulle, V un 𝔽-espace vectoriel de dimension finie et ρ : G ↪ GL(V) une représentation d’un groupe G fini. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) G est engendré par des pseudo-réflexions,

(ii) 𝔽[V]^{G} est une algèbre de polynômes.

Démonstration : (i) ⇒ (ii) On suppose que G est engendré par des pseudoréflexions dans la représentation ρ. D’après le corollaire 5.3.2, il suffit de montrer que 𝔽[V] est un 𝔽[V]^{G}-module libre pour conclure que 𝔽[V]^{G} est une algèbre de polynômes. Cela revient à montrer, d’après la proposition 4.3.1, que T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, 𝔽[V]) = 0.

L’action de G sur 𝔽[V] induit une action sur T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, 𝔽[V]). Par définition de Δ_{s}, on a

s(f) − f = l_{s}Δ_{s}(f) ∀f ∈ 𝔽[V].

Δ_{s} est un endomorphisme 𝔽[V]^{G}-linéaire de 𝔽[V], ainsi

s(ζ) − ζ = l_{s} · T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, Δ_{s})(ζ) ∀ζ ∈ T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, 𝔽[V]).

Supposons T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, 𝔽[V]) non nul. Soit ζ un élément non nul de degré minimal dans T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, 𝔽[V]); Δ_{s} diminue le degré de 1, donc T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, Δ_{s})(ζ) = 0. On en déduit que s(ζ) = ζ pour toute pseudo-réflexion s ∈ G. G étant engendré par les pseudoréflexions, ζ est G-invariant.

Si M est un G-module, l’action de G sur M induit une action de G sur T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, M). On note i : 𝔽[V]^{G} ↪ 𝔽[V], morphisme de G-modules, où G agit triviallement sur 𝔽[V]^{G}. L’application π^{G} introduite en 3.4 est un morphisme de 𝔽[V]^{G}-module de 𝔽[V] dans 𝔽[V]^{G}. On a donc les morphismes induits

\xymatrix{T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, 𝔽[V]) \ar@{-->}[dr]^{T or_{1}^{𝔽[V ]^{G}}(𝔽,π^{G})} \\  & T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, 𝔽[V]^{G}) \ar@{-->}[dr]^{T or_{1}^{𝔽[V ]^{G}}(𝔽,i)} \\  &  & T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, 𝔽[V]).}

La composée i · π^{G} est l’identité sur 𝔽[V]^{G}. Donc

ζ = T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, i) · T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, π^{G})(ζ) = 0,

car

T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, 𝔽[V]^{G}) = 0

puisque 𝔽[V]^{G} est un module libre sur lui-même. On a ainsi une contradiction, et T or_{1}^{𝔽[V]^{G}}(𝔽, 𝔽[V]^{G}) = 0.

(ii) ⇒ (i) On suppose que 𝔽[V]^{G} est une algèbre de polynômes, et on choisit f_{1}, …, f_{n} polynômes homogènes de degrés d_{1} ≤ ⋯ ≤ d_{n} algébriquement indépendants engendrant 𝔽[V]^{G}. Soit H < G le sous-groupe de G engendré par s(G), l’ensemble des pseudoréflexions de G. D’après la première implication du théorème, 𝔽[V]^{H} est aussi une algèbre de polynômes. Soient h_{1}, …, h_{m} polynômes homogènes de degrés e_{1} ≤ ⋯ ≤ e_{m} algébriquement indépendants engendrant 𝔽[V]^{H}. En fait m = n, car d’après la proposition 3.3.3, n = d(𝔽[V]^{G}) = dim_{𝔽}(V) = d(𝔽[V]^{H}) = m. On a pour i = 1, …, n, f_{i} ∈ 𝔽[h_{1}, …, h_{n}]. De plus, grâce à la proposition 3.5.6, on a

\begin{matrix}|G| = d_{1} ⋯ d_{n} & s(G) = ∑_{i=1}^{n}(d_{i} − 1) \\ |H| = e_{1} ⋯ e_{n} & s(H) = ∑_{i=1}^{n}(e_{i} − 1). \end{matrix}

Montrons que d_{i} ≥ e_{i} pour i = 1, …, n. Cest clair pour i = 1. On suppose que d_{i} ≥ e_{i} pour i = 1, …, m; si d_{m+1} < e_{m+1}, alors f_{m+1} est un polynôme en h_{1}, …, h_{m}. De même, puisque d_{i} ≤ d_{m+1} < e_{m+1} pour i = 1, …, m, f_{1}, …, f_{m} sont dans 𝔽[h_{1}, …, h_{m}]. On pose

\frac{1}{∏^{m} ; i=1(1 − t^{e_{i}})} = ∑^{∞} ; i=1a_{i}t^{i},

\frac{1}{∏^{m} ; i=1(1 − t^{d_{i}})} = ∑^{∞} ; i=1b_{i}t^{i}.

Les f_{i}, i = 1, …, m+1 sont algébriquement indépendants et sont dans 𝔽[h_{1}, …, h_{m}]; on en déduit : a_{n} ≥ b_{n}, ∀n ≥ 0. D’après la proposition 3.3.1, il existe κ > 0 tel que b_{n} ≤ a_{n} ≤ κ · n^{m−1}, ∀n > 0, car m = d(𝔽[h_{1}, …, h_{m}]). Or m + 1 = d(𝔽[f_{1}, …, f_{m+1}]), ce qui aboutit à une contradiction par la proposition 3.3.1. Donc d_{i} ≥ e_{i}, ∀i.

G et H ayant les mêmes pseudo-réflexions, on a

∑_{i=1}^{n}(d_{i} − 1) = ∑_{i=1}^{n}(e_{i} − 1),

d’où d_{i} = e_{i}, ∀i. Ainsi |G| = d_{1} ⋯ d_{n} = e_{1} ⋯ e_{n} = |H|, d’où G = H et G est engendré par des pseudo-réflexions.

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Références

[Lan] S. Lang Algebra Addison Wesley 3^{rd} ed. (1994).

[Mac] S. Mac Lane Homology Springer (1966).

[Mat] H. Matsumura Commutative Ring Theory Cambridge University Press (1986).

[Smi] L. Smith Polynomial Invariants of Finite Groups Research Notes In Math. (1995).